Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Условиях I-рода.
Ось OZ совмещаем с осью цилиндра, и температура меняется только вдоль радиуса цилиндра. Для полого цилиндра заданы: внешний () и внутренний () радиусы, коэффициент теплопроводности (l), температуры холодной и горячей стенок ( и ). Требуется найти: уравнение, описывающее температурное поле в цилиндре, т.е. изменение температуры в зависимости от диаметра d (рад. r), а также плотность теплового потока q и сам тепловой поток Q. На основании дифференциального уравнения теплопроводности при стационарном режиме и отсутствии внутренних источников теплоты (2.10), учитывая, что первая и вторая производные температуры по z равны нулю , , а также то, что температура не зависит от полярного угла j, то уравнение Лапласа в цилиндрических координатах (2.10) упрощается до вида . (4.1) Граничные условия дифференциального уравнения: при ; при . Введём новую переменную , тогда дифференциальное уравнение (4.1) будет иметь вид: . Интегрируем данное выражение: . Тогда, потенциируя это выражение и переходя к первоначальным переменным мы получаем: . После интегрирования получаем: . (4.2) Для определения постоянных интегрирования и воспользуемся граничными условиями: (а) Решая уравнение (а) относительно и , получаем , (б) , (с) Подставляя в (4.2) значения и , получаем окончательное решение дифференциального уравнения . (4.3) Это решение описывает распределение температуры в цилиндрической стенке. Это логарифмическая кривая (рис. 4.1). Задавая произвольным диаметр, можно определить температуру в любой точке цилиндрической поверхности. Согласно закону Фурье плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры (температура меняется только вдоль радиуса): ; , Вт. (4.4) Из этого выражения следует, что тепловой поток полностью определяется внутренним и наружным диаметрами цилиндра ( и ). Тепловой поток может быть отнесён к единице длины цилиндра , . (4.5) (линейная плотность теплового потока) – это количество теплоты, проходящее через цилиндрическую поверхность путём теплопроводности через единицу длины Тепловой поток может быть отнесён к внутренней поверхности цилиндра , . (4.6) Тепловой поток, отнесённый к наружной поверхности цилиндра , . (4.7) Связь между различными приведёнными плотностями теплового потока следующая , (4.8) , т.к. . Следовательно, в отличие от плоской стенки плотность теплового потока непостоянна по толщине цилиндрической стенки и определяется текущим диаметром цилиндра (чем больше текущий диаметр, тем меньше плотность теплового потока). Если коэффициент теплопроводности не является величиной постоянной, а зависит от температуры по зависимости , то температурное поле, т.е. линии изменения температуры в цилиндрической стенке, на любом диаметре может быть определено из следующего выражения . (4.9) Подставляемые в выражение (4.9) значения и берутся из справочников.
|