Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ – единственный вид анализа, который позволяет установить наличие фактора, не поддающегося количественному описанию на отклик, не характеризующийся количественно.

На практике наряду с рассматриваемым фактором (предполагаемо сильно влияющий на отклик) влияет множество дополнительных не контролируемых факторов. Задача состоит в том, что бы вычислить влияет ли исследуемый фактор на отклик на фоне влияния случайной величины.

Для проведения анализа необходимо иметь опытные данные, которые можно представить в виде таблицы.

N	Порядковый номер серии	Среднее значение отклика в серии,
		…	i	…	m
	y 11	y 12	…	y 1 i	…	y 1 m
	y 21	y 22	…	y 2 i	…	y 2 m
…	…	…	…	…	…	…
j	yj 1	y j2	…	yji	…	yjm
…	…	…	…	…	…	…
u	yu 1	yu 2	…	yui	…	yum

N – номер варьируемого фактора.

Среднее значение по всей таблице: .

Разброс значений по строке относительно среднего связан только с влиянием случайных факторов и не связан с влиянием анализируемого фактора.

Разброс значений относительно общего среднего связан с влиянием как факторов так и случайных причин и может быть охарактеризован дисперсией .

Рассеянье групповых средних относительно общего среднего связано преимущественно с влиянием фактора, т.к. случайные причины в однозначной степени нивелированы.

Разброс может быть охарактеризован дисперсией .

Для того чтобы признать влияние фактора существенным на фоне случайных причин, необходимо чтобы .

Оценками для соответствующих дисперсий является:

для ;

для .

Проверка гипотезы о равенстве и осуществляется при помощи критерия Фишера (3.3.1.2).

При определении границы критической области значения ν ₁= u –1 и ν ₂= mu -1.

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Т.к. есть факторы, которыми мы имеем возможность управлять, то управлять имеет смысл каким то оптимальным способом, по какому то заранее составленному плану – плану эксперимента.

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения задачи с требуемой точностью.

Предпланирование эксперимента

Основные этапы и задачи:

1. Формирование ясного и однозначно представления о целях проводимых исследований.

2. Выбор и однозначное определение объекта экспериментальных исследований. Поиск путей управления этим объектом.

3. Выбор зависимых переменных (откликов).

4. Выбор независимых переменных (факторов).

Зависимые переменные должны удовлетворять следующим основным требованиям:

- Статистическая эффективность – требования выбора параметра (отклика), определяемого с наивысшей точностью.

- Однозначность (в статистическом смысле слова) – в качестве отклика следует выбрать такую функцию, которая при одном и том же сочетании факторов имело бы одно значение.

- Зависимая переменная должна характеризоваться числом. Допустимы некоторые ранговые оценки типа класс, ранг, сорт, балл.

- Отклик должен иметь ясный физический смысл. Лучше если это будут общепринятые единицы физических величин.

- Отклик в оптимизационных задачах должен иметь четкий ярко выраженный максимум.

- Отклик должен иметь известную область определения (что бы попал в область определения приборов).

- Лучше в одном эксперименте проводить изучение одного отклика.

При выборе наиболее важных откликов существует ряд методов преодоления проблемы неопределенности темы.

Метод определенного (до опытного) ранжирования:

- расстановка по степени значимости;

- определение наиболее важных.

Метод переформулирования задачи и цели эксперимента или сведение ее к ряду более мелких задач и целей.

Установление связи между возможными зависимыми параметрами, что возможно при помощи применения корреляционного анализа.

Требования, предъявляемые к факторам:

- факторы должны непосредственно воздействовать на объекты исследования, т.е. изменение значения фактора должно приводить к изменению значения отклика, при этом воздействие фактора на объект экспериментального исследования не должно быть опосредованным – не должно чередоваться через другой объект;

- факторы должны быть независимыми, т.е. должна иметься возможность реализовать все запланированные комбинации факторов;

- измеряемость, т.е. возможность измерить величину факторов;

- совместимость, т.е. возможность изменять и поддерживать значения фактора на требуемом уровне без изменения других факторов;

- целесообразно использовать в эксперименте наименьшего из возможных числа факторов. Для выбора наиболее важных приемлемы методы описанные выше для отклика.

Каждый фактор перед началом планирования следует подвергнуть предварительной обработке, включающей следующие операции:

1. Установление области определения факторов путем установления наибольшего и наименьшего значений;

2. Выбор области экспериментирования от X_min до X_max.

3. Определение количества уровней варьирования. Количество уровней зависит от предполагаемой сложности математической модели (для линейной модели – 2 уровня, для квадратичной – 3 уровня), т.е. определяется числом неизвестных коэффициентов.

4. Координирование факторов (нормирование):

- определение центра факторного пространства:

;

- определение полуинтервала варьирования :

;

- установление уровней фактора в кодированном масштабе:

.

После проведения координирования каждого фактора для его уровней можно получить следующее соответствие:

Обычно при составлении плана эксперимента единицы опускают и обозначают нижний уровень «–», верхний «+», средний «0».

Планы эксперимента первого порядка

Планы эксперимента первого порядка предназначены для получения зависимостей выраженных линейным уравнением.

Полный факторный план эксперимента

Полным факторным планом эксперимента называется план, в котором предусмотрено использование всех возможных сочетаний значений факторов.

Общее число опытов определяется выражением , где S – количество уровней в факторе; К – количество факторов.

Для планов первого порядка S =2, поэтому .

Все возможные сочетания факторов принято представлять в виде таблицы или матрицы планирования эксперимента.

Принцип построения таблицы следующий:

- для построения плана эксперимента для К факторов дважды повторяется план экспериментов для К –1 факторов сначала на верхнем, а затем на нижнем уровне фактора К.

х ₁, х ₂, х ₃ – факторы.

Такие планы эксперимента отвечают двум свойствам:

- симметричность относительно центра эксперимента – сумма всех значений фактора в таблице (по столбцу) равна нулю, т.е. ;

- нормированность – сумма квадратов всех значений фактора по столбцу равна объему эксперимента, т.е. .

Целью проведения эксперимента по такому плану является получение коэффициентов уравнения .

Расчет коэффициентов может быть проведен по методу наименьших квадратов (п. 4.1).

Учитывая свойства центрированости и нормированости, расчетные формулы для расчета коэффициентов существенно упрощаются и могут быть сведены единому уровню

.

Для того чтобы воспользоваться этим уравнением к плану эксперимента следует добавить фиктивный столбец х ₀, принимающий во всех экспериментах значение «+1» и столбец результата эксперимента у.

Дробный факторный план эксперимента (ДФПЭ)

Полный факторный план эксперимента предполагает получение информации по объему значительно превосходящий минимально необходимую для построения уравнения регрессии.

Например для построения линейного уравнения регрессии для 8– и факторов следует проделать 2⁸=256 опытов. В то время как в уравнении содержится всего лишь 9 неизвестных коэффициентов.

С целью уменьшения количества экспериментов используют дробные факторные планы эксперементов.

Принцип построения планов следующий:

1. Определяют минимально возможное количество опытов, определяемое из уравнения , где К – количество факторов, а р подбирается таким образом, чтобы N оказалось больше, чем К +1.

2. Строят полный факторный план эксперимента для К – р любых факторов.

3. Используя генерирующие соотношения достраивают столбцы для оставшихся р факторов.

Генерирующим соотношением называется выражение, состоящее из любых произведений любого числа факторов, входящих в часть плана эксперимента, определенную полной факторной моделью и определяющее значение факторов из достраиваемой части дробного факторного плана эксперимента.

Например построим ДФПЭ по 6-ти факторам.

Т.к. 32> 7, то можем принять р =1.

Т.к. 8> 7, то можем принять р =3.

Т.к. 4< 7, то р =4 принять не можем.

Строим ДФПЭ типа .

Такие планы так же обладают свойствами центрированности и нормированности (см. п.8.2.1), поэтому при расчете коэффициентов уравнения регрессии по результатам эксперимента, проведенного ДФПЭ, так же можно использовать упрощенное выражение, приведенное в п. 8.2.1.

Планы эксперимента второго порядка

Планы эксперимента второго порядка предназначены для проведения эксперимента с целью последующего расчета уравнения второго порядка:

.

Все планы эксперимента второго порядка делят на полные и дробные.

Принцип построения полных факторных планов второго порядка аналогичен принципу построения полного факторного эксперимента первого порядка с учетом того, что в плане второго порядка каждый фактор варьируется на трех уровнях: –1, 0, +1.

Матрица полного факторного плана эксперимента второго порядка.

, где N – количество опытов, К – количество факторов.

Такие планы так же обладают свойствами центрированности, а значит можно применять упрощенные выражения для расчета коэффициентов уравнения регрессии.

Учитывая то, что при использовании полного факторного плана эксперимента для большого количества факторов, число опытов значительно превосходит минимально необходимое на практике полный факторный план эксперимента используют крайне редко.

Обычно используют ДФПЭ.

Оказывается, что принципов сокращения плана эксперимента может быть бесконечное множество. Поэтому из всех возможных принципов выбирают тот, который в наименьшей степени удовлетворяет целям проводимого эксперимента.

Обычно используют ДФПЭ, обладающие определенной оптимальностью. Например:

D _опт – планы, позволяющие получить оценки коэффициентов уравнения регрессии, обладающие наименьшей дисперсией;

А _опт – планы, гарантирующие наименьшую усредненную дисперсию всех оценок;

Е _опт – планы, гарантирующие приблизительное равенство дисперсий коэффициентов и т.д.

На практике самостоятельно планы второго порядка не разрабатывают, а выбирают из каталогов (например Голиков Т.И., Панченко Л.А., Фридман Л.З. «Каталог планов второго порядка», изд. МГУ, 1974, том 1, том 2), определяя только интересующие свойства планов.

После проведения эксперимента, по одному из указанных планов, по результатам можно построить уравнение регрессии, используя метод наименьших квадратов, либо по упрощенным выражениям, либо так, как это показано в п.4.