Понятие подобия

Особое место среди математических моделей занимают подобные. Если при аналогии двух объектов распространение свойств одного объекта на другой носит характер предположения и нуждается в проверке, то при подобии знание свойств одного объекта значит знание свойств другого объекта.

Подобие - это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях этих переменных, удовлетворяющих сходственным уравнениям.

Впервые понятие «подобие» появилось в геометрии.

Геометрическое подобие – определяют подобность геометрических фигур по сходственным характеристикам. Многоугольник с определенным количеством сторон n, подобен другому многоугольнику с таким же количеством сторон n, если соответствующие углы многоугольников равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Определение геометрического подобия многоугольников, на примере треугольников, состоит в следующем:

треугольники подобны, если у них сходственные стороны пропорциональны, а сходственные углы равны и, т. е. выполняются следующие равенства:

Рис.5 Подобие треугольников

, (1)

где m_L и m_m - масштабные коэффициенты (масштабы) величин сторон и углов, характеризующие пропорциональность сходственных параметров.

(Оговорка: если m_L и m_m называются масштабными коэффициентами, то величины обратные им, т.е. 1/m_L и 1/m_m будут называться масштабами и обозначаться, соответственно, M_L и M_m или наоборот, или вообще не делается различия между терминами «масштаб» и «масштабный коэффициент»).

На практике при геометрическом подобии используются не характеристики длин сторон многоугольника, а их координаты.

Если ввести систему прямоугольных координат X, Y, то при геометрическом подобии все координаты x_iA, y_iA первого многоугольника пропорциональны соответствующим координатам x_iB, y_iB второго многоугольника, т.е. выполняются соотношения

x_iA, / x_iB =m_x; y_iA / y_iB = m_y; m_x = m_y,

где x_i и y_i координаты любой точки, находящейся на отрезках прямых, определяющих контуры соответствующего многоугольника; m_x и m_y - масштабы.

Данный вид подобия может существовать и в пространстве большей размерности: трех - и более мерном.

Дальнейшее развитие понятия подобие является - аффинное подобие, при котором допускается неравенство масштабов по отдельным координатным осям.

Рис.6 Превращение параллелепипеда в куб.

При аффинном подобии для сходственных точек в трехмерном координатном пространстве будут справедливы следующие соотношения:

x_iA / x_iB = m_x; y_iA / y_iB = m_y; z_iA / z_iB = m_z; m_x¹ m_y ¹ m_z.

При этом требуется введения специальных преобразующих функций, осуществляющих взаимосвязь между координатами моделей и объекта, часто - нелинейных.

Пример: установить условия аффинного подобия на рис. 4, отрезки линий e₁ - l₁ являются не линейно сходственными линиями e₂ - l₂, точки e₁, f₁, g₁, h₁, i₁ соответствуют точкам e₂, f₂, g₂, h₂, i₂.

Рис.7 Нелинейное преобразование

Уравнения для контуров e₁ - i₁ и e₂ - i₂ имеет вид:

x₁ + y₁ = 6; x₂² + y₂² = 24.

Вводятся масштабные коэффициенты F_x = x₁ / X₁ и F_y = y₁ / Y₁, вид которых пока неизвестен, для уравнения первого контура можно записать:

X₁ F_x + Y₁ F_y = 6,

где X₁ и Y₁ преобразованные в область B значения x₁ и y₁ из области A. После тождественных преобразований уравнение выглядит:

[(2X₁ / Ö x₁) F_x]² + [(2Y₁ / Ö y₁) F_y]² = 24,

таким образом F_x = Ö x₁ / 2; F_y = Ö y₁ / 2 и, следовательно:

x₂ = 2Ö x₁ и y₂ = 2Ö y_1.

В приведенном примере функции преобразования F_x и F_y имеют одинаковый вид, но нелинейный характер.

Следующий пример: даны две сходственные функции: , если масштабы m_y = y₁ / y₂: m_x = x₁ /x₂, соответственно равны 2 и 4, то функции подобны.

Рис.8 Подобные функции (пример)

В этом примере переменные имеют различные масштабные коэффициенты по координатным осям.

Пример. Имеются два генератора переменного тока. Их описывает функция зависимости напряжения от времени: и . Выражения для масштабов имеют вид m_u = u₁ / u₂, m_t = t₁ / t₂. Время, входящее в одну формулу и время, входящее в другую формулу имеют вполне определенный физический смысл, так как t₁ и t₂ такие различные значения одной и то же величины t, при которых фиксируются значения различных зависимых переменных u₁(t) и u2(t).

Физическое и временное подобие имеет место при m_u = 10 и m_t = 2. Масштаб m_u показывает отношение амплитуд напряжений u₁ и u₂, масштаб m_t - отношение периодов T₁ = 4c и T₂ = 2c.

Рис.9 Подобие генераторов (пример)

В общем случае временного подобия безразмерный масштаб времени представляет отношение сходственных временных интервалов, которым соответствует неизменное отношение значений или приращений подобных временных функций. Этими параметрами могут быть периоды колебаний (как в примере), постоянные времени, длительности переходных процессов, временные задержки и т.д.

Если, например, имеются две подобные САУ, то, установив время переходного процесса одной из них t₁ и зная временной масштаб m_t, можно найти время переходного процесса другой системы: t₂ = t₁ / m_t.