Изображение напряжений и токов комплексными числами и векторами на комплексной плоскости

Запишем комплексное число в виде

I_m = I_mе^jα = I_m cos α + jI_m sin α

Допустим, что вектор комплексного числа I_m вращается с постоянной угловой частотой ω и угол α = ω t + ψ. Тогда

I_m = I_mе^{j(ω t + ψ)} = I_m cos (ω t + ψ) + jI_m sin (ω t + ψ).

Слагаемое I_m cos (ω t + ψ) представляет собой действительную часть комплексного числа и обозначается

I_m cos (ω t + ψ) = ReI_mе^{j(ω t + ψ)}.

Слагаемое I_m sin (ω t + ψ) есть коэффициент при мнимой части комплексного числа и обозначается

I_m sin (ω t + ψ) = ImI_mе^{j(ω t + ψ)}.

Легко видеть, что коэффициент при мнимой части комплексного числа представляет собой выражение мгновенного значения синусоидального тока

i = I_m sin (ω t + ψ)

и является проекцией вращающегося вектора I_m на мнимую ось комплексной плоскости.

Синусоидально изменяющиеся по времени величины изображаются на комплексной плоскости для момента времени t = 0. Тогда комплексная амплитуда Im записывается в виде

I_m = I_me^jψ ,

где I_m — комплексная амплитуда; I_m - ее модуль, а ψ - угол между вектором I_m, и действительной осью.

Таким образом, комплексная амплитуда изображает синусоидальный ток на комплексной плоскости для момента времени t = 0.

Допустим, что в электрической цепи мгновенные значения напряжений и тока имеют выражения

и = U_m sin(ω t + ψ ₁);

i = I_m sin (ω t + ψ ₂).

Комплексные амплитуды напряжения и тока должны быть записаны в виде

U_m = U_mejψ ¹;

I_m = I_mejψ ²;

где U_m и I_m — соответственно модули комплексных амплитуд напряжений и тока; ψ ₁ и ψ ₂ — начальные фазы U_m и I_m относительно действительной оси (углы начальных фаз).

Обычно принято выражать в виде комплексных чисел не амплитуды, а действующие значения напряжений и токов:

,

Рис. 2.24. Изображение напряжения и тока в виде векторов на комплексной плоскости (а и б) электрических цепей (в и г)

Если ψ ₁ > ψ ₂, то векторы напряжения и тока расположены на комплексной плоскости так, как показано на рис. 2.24, а. Напряжение опережает по фазе ток, так как векторы вращаются против часовой стрелки и, следовательно, цепь имеет активно-индуктивный характер (рис. 2.24, в).

При ψ ₂ > ψ ₁ (рис. 2.24, б) ток опережает по фазе напряжение и цепь имеет активно-емкостный характер (рис 2.24, г).