Арифметическая средина. Средняя квадратическая ошибка. Предельная и относительная ошибки

Исходя из четвертого свойства случайных ошибок при геодези­ческих измерениях одинаковой точности, за окончательный ре­зультат принимают среднее арифметическое из ряда измерений.Если измерена одна и та же величина п раз и получены результаты: l₁, l₂, l₃,..., l_n, то

(12)

Величина х называется арифметической срединой или вероят-нейшим значением измеренной величины.

Разности между каждым измерением и арифметической сре­диной называются вероятнейшими ошибками измерений:

(13)

Сложив равенства (13), получим

(14)

Из формул (12) и (14) следует, что [υ ] = 0.

Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле:

(15)

где [и²] — сумма квадратов вероятнейших ошибок; п — число из­мерений.

Средняя квадратическая ошибка арифметической средины вычисляется по формуле:

(16)

Предельная ошибка не превышает утроенной средней квадратической ошибки, т. е.

(17)

Пример.* Линия измерена шесть раз. Определить ее вероятнейшую длину и оценить точность этого результата. Вычисления приведены в табл. 1.

Таблица 1

По формулам (15) и (16) вычислены абсолютные средние квадратические ошибки, а оценивать точность измерения длины линии необходимо по относительной ошибке. Поэтому нужно абсолютную ошибку разделить на длину линии. Для нашего примера относительная ошибка вероятнейшего значения изме­ренной линии равна