Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вариант 3

1. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a+ 2 b)(b– 3 a), б) |(a+ 2 b) ´ (b– 3 a)|,

где | a |=2, | b |=3, a^b =p/4.

2. Найти координаты точки M, равноудаленной от точек A(–2; 1; 4) и B(1; 3; –1), если точка М лежит на оси Оz.

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A(2; -1; 1), B(5; 5; 4, C(3; 2; -1), D(4; 1; 3).

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2; 2; 3), b = (5; 1; 2),
c = (–1; –3; –2), d = (8; 0; 1).

5. Определить при каких значениях a и b две прямые

(a+ 2) x+ 3 y+ 4 = 0 и –2 x+ 9 y+b= 0

а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают.

6. Из точки A(–2; 3) выходит луч света под углом j=arctg3 к оси Ox и отражается от нее. Написать уравнения падающего и отраженного лучей. Сделать чертеж.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

8. Построить кривую r = 2(1+sinj), заданную в полярных координатах.

9. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F₁(–4; 0) и F₂(2; 0) есть величина постоянная и равна p=10. Сделать чертеж.

10. Привести уравнение 5 x ²–3 y ²–10 x –18 y –37=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.