Символьное решение уравнений и систем уравнений.

Если задано некоторое выражение f (x)и отмечена переменная x, то командаSymbolic Solve for Variable (решить относительно переменной) возвращает символьные значения указанной переменной x, при которой f (x)= 0. При таком решении не нужно задавать начальные приближения.

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ РАБОТЫ

1. Номер варианта для выполнения работы определяется в соответствии с номером студента по списку в журнале.

2. Работа выполняется на листах формата А-4 машинописным текстом в редакторе MS Word, шрифт TNR №14 через полуторный интервал.

3. Каждое действие необходимо дополнять пояснениями.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание 1. Построить график функции f (x)и приблизительно определить один из корней уравнения. Решить уравнение f (x) = 0с точностью е=10^-4 методом Ньютона (касательных), используя функцию until. Определить число итераций в каждом методе, с помощью функции last (табл.1).

Таблица 1

Варианты задания 1

№		№		№

Задание 2. Для полинома g (x) выполнить следующие действия: с помощью команды Symbolic Polynomial Coefficients создать вектор V, содержащий коэффициенты полинома; решить уравнение g (x) = 0 с помощью функции polyroots; решить уравнение символьно, используя команду Symbolic Solve for Variable; разложить на множители, используя Symbolic Factor Expression (табл.2).

Таблица 2

Варианты задания 2

№ варианта		№ варианта

Задание 3. Решить систему линейных уравнений, используя функции Find; матричным способом, используя функцию lsolve ( табл. 3 ).

Таблица 3

Варианты задания 3

№ варианта	Система линейных уравнений	№ варианта	Система линейных уравнений

Задание 4. Преобразовать нелинейные уравнения системы к виду f₁ (x) = y и f₂ (y) = x. Построить их графики и определить начальное приближение решения. Решить систему нелинейных уравнений, используя функцию Minerr (табл. 4).

Таблица 4

Варианты задания 4

№ варианта	Система нелинейных уравнений	№ варианта	Система нелинейных уравнений

Задание 5. Символьно решить системы уравнений:

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Использование функции until для реализации метода Ньютона.

- начальное приближение, определенное по графику

Отделение корней для функции:

Рис.1. Определение начального приближения

Уточнение корней (методом Ньютона).

	- предположительное число итераций ; - задание точности вычислений.
Определение функции, вычисляющей производную от :
Вычисление первого приближения по формуле Ньютона:
Реализация итерационного процесса по методу Ньютона с использованием функции until:
Определение числа итераций, за которые итерационный процесс сошелся: -корень уравнения - итерационная последовательность.

Пример выполнения задания 2 с использованием функции polyroots для решения уравнения f(x)=0.

Задание полинома:

Определение коэффициентов вектора V:

Задание вектора переменных: Определение корней уравнения .

Использование функции solve для решения уравнения f(x)=0 и использование функции factor при разложении полинома на множители.

Рис.3. Использование функции solve и factor Mathcad.

На рисунке 4 представлен пример решения системы уравнений при помощи функции lsolve.

Рис.4. Использование функции lsolve Mathcad.

На рис. 5 и 6 представлены примеры решения системы уравнений при помощи функций Find и Minerr. Для решения систем уравнений при помощи данных функций необходимо для начала задать начальные приближения. При помощи оператора Given происходит запись системы уравнений в Mathcad. Для написания символьного знака равно необходимо удерживать клавишу Ctrl, либо использовать знак булевого равенства на панели инструментов.

Рис. 5. Использование функции Find Mathcad.

На первоначальном этапе необходимо выразить из уравнений одну переменную через другую (х чрез у) и построить графики этих функций на одной диаграмме. Затем по графику следует определить координаты точки пересечения графиков, это значение и будет начальным приближением.

Рис. 6. Использование функции Minerr Mathcad.

ЛИТЕРАТУРА

1. А.В. Соболев, А.Ф. Рыбалко Математика. Курс лекций для технических Вузов, М:, Академия, 2009-416с.
2. А.С. Киринский Математический анализ, М.Академический проект, 2008-526с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 2

Цель работы 2

Указания к выполнению работы 2

Требования к оформлению работы 5

Задания для контрольной работы 5

Литература 12

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И СИМВОЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ САУ СРЕДСТВАМИ MATHCAD