Метод Ньютона. Министерство образования и науки Российской

Министерство образования и науки Российской

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И СИМВОЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ СРЕДСТВАМИ MATHCAD

Методические указания к выполнению контрольной работы

по дисциплине «Математические основы теории систем»

для студентов специальности 220201

«Управление и информатика в технических системах»

заочной формы обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники,

технологии и управления

Балаково 2011

ВВЕДЕНИЕ

Многие системы автоматического управления описываются нелинейными уравнениями или системой уравнений, которые не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы найти аналитическое решение математической модели САУ, которая описывается уравнением степени выше четвертой. Однако такие математические модели могут решаться итерационными методами с заданной точностью.

Задача нахождения корня уравнения f (x)= 0 итерационными методами состоит в следующем:

- отделение корней - отыскание приближенного значения корня (например, графическим методом);

- уточнение корней - доведение их значений до заданной степени точности.

Цель работы: научиться применять итерационные методы для поиска решения математических моделей систем автоматического управления с применением современных программных продуктов.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ

Метод Ньютона

Существует несколько приближенных методов решения нелинейных уравнений. Рассмотрим подробнее метод Ньютона: метод простых итераций. При использовании метода Ньютона необходимо задаться начальным приближением х ₀, расположенным достаточно близко к точному значению корня. Для этого по заданной функции f(x), на заданном интервале, в программной среде строится график функции в декартовой системе координат и визуально, по графику определяется значение аргумента х₀ при котором функция f(x)=0. Далее необходимо задать предположительное число итераций n, обозначить шаг итераций i=0..n и точность вычислений e.

Согласно методу Ньютона, следует провести вычисление первого приближения по формуле:

, (1)

где f^’(x₀) – производная функции f(x) при конкретном значении аргумента.

При нахождении производной должно выполняться равенство:

(2)

Функция Mathcad until возвращает аргумент х до тех пор, пока функция не примет отрицательное значение. Далее итерационный процесс строится по формуле:

, (3)

где e - точность вычислений;

х_i-1 –значение аргумента на предыдущем шаге итерации;

х_i+1 – значение аргумента на последующем шаге итерации.

Достаточным условием сходимости итерационных процессов является выполнение неравенства (4) на каждом шаге итерации.

(4)

После проведенных расчетов необходимо определить число итераций, за которые сошелся итерационный процесс. Выполняется это в Mathcad при помощи функции last (x) в скобках указывается аргумент функции.