Статический расчет балки, построение огибающих эпюр моментов м и поперечных сил q

Расчетные усилия в сечениях балки на опорах и в пролетах определяются с учетом их перераспределения вследствие пласти­ческих деформаций материала при невыгоднейших вариантах загружения. Постоянная нагрузка ρ действует во всех пролетах.

Рассматриваются три варианта невыгодного загружения времен­ной нагрузкой р с целью получения максимальных и минималь­ных значений изгибающих моментов.

Первый вариант: временная нагрузка ν действует в нечет­ных пролетах, вызывает максимальные моменты в нечетных и минимальные в четных пролетах.

Второй вариант: временная нагрузка ν действует в 1 и 2, 4 и 5, 7 и 8, 10 и 11… пролетах, вызывает максимальные опорные моменты на 2, 5, 8, 11... опорах и минимальные моменты на 3, 4, 6, 7, 9, 10... опорах.

Третий вариант: временная нагрузка ν действует во 2 и 3, 5 и 6, 8 и 9, 11 и 12... пролетах, вызывает максимальные мо­менты на 3, 6, 9, 12 опорах и минимальные моменты на 2, 4, 5, 7, 8, 10... опорах.

Эпюры изгибающих моментов от невыгодных вариантов загруже­ния накладывают одну на другую и получают огибающую эпюру моментов.

Так как подобные операции трудоемки и многодельны, состав­лена специальная таблица ординат огибающих эпюр моментов для неразрезных монолитных второстепенных балок с равными пролете-ми от действия равномерно распределенной нагрузки. Она содер­жит значения коэффициентов β, с помощью которых вычисляют ве­личины отрицательных и минимальных моментов в точках, располо­женных на расстояниях 0, 2 l в каждом пролете, начиная со вто­рого. Копия данной таблицы представлена табл.5 настоящих указаний.

Для вычисления положительных моментов во всех пролетах в точках, расположенных также на расстоянии 0, 2 l, пользуются эпюрой рис.5.

Коэффициенты β (табл.5, рис.5), найденные в точках в зависимости от отношения временной и постоянной нагрузки (ν /ρ), используют только при расчете монолитных второстепенных балок.

Таблица 5

Рис 5 Ординаты огибающей эпюры М неразрезной балки сравными пролетами.

Величины моментов рассчитывают по формуле:

Значения поперечных сил находят по формулам:

–у грани опоры на стене;

–у грани первой промежуточной опоры слева;

–у грани первой промежуточной опоры справа и у граней остальных промежуточных опор.

4. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

Армирование второстепенных балок в пролетах осуществляет­ся двумя плоскими вертикальными каркасами. Рабочая арматура (нижняя) каркаса содержит два стержня, кроме того в каркасе ставится конструктивный (верхний) продольный стержень Ø 10-12мм, Конструктивный стержень нужен для обеспечения проектного поло­жения арматуры каркасов, для объединения плоских вертикальных каркасов в объемный каркас и для частичного восприятия опорного изгибающего момента.

Нижний стержень рабочей арматуры располагают от опоры до опоры. Верхний стержень рабочей арматуры можно обрывать в про­лете.

Армирование надопорных сечений второстепенных балок (рис.7) целесообразно осуществлять одной или двумя плоскими сварными сетками со сдвижкой их относительно друг друга, чтобы измене­ние площади поперечного сечения арматуры соответствовало из­менению ординат эпюры моментов в приопорных участках. Расчет­ная ширина сеток вдоль главных балок принимается равной шагу второстепенных балок. Над колоннами сетки не укладываются, а заменяются двумя отдельными стержнями, суммарная площадь которых должна соответствовать площади двух уложенных внакладку надопорных сеток на длине, равной ширине колонны.

ПРИМЕР РАСЧЕТА ПРОЧНОСТИ ВТОРОСТЕПЕННОЙ БАЛКИ ПО НОРМАЛЬНЫМ СЕЧЕНИЯМ

Дано: h_в=40см, b_в=20см.

Бетон B-15 (R_в=8, 5МПа). Арматура A-III (R_s=375МПа). Расчетная погонная нагрузка (из табл.1):

p=2, 6 ^. 2=5, 2 кН/м

q=(7, 5-2, 6) ^. 2=9, 8 кН/м

Отношение ν /ρ =5, 2/9, 8=0, 53~0, 5.

Расчетные пролеты l =5, 7 м (разница между номинальным размером в осях колонн и тридцатисантиметровой шириной главной балки).

Размер здания в плане 60х18м, сетка колонн 6х6м, второстепенные балки располагаются вдоль здания, значит расчетная схема второстепенной балки – 10^ти-пролетная неразрезная балка, загруженная равномерно распределенной нагрузкой при вариантах невыгодных сочетаний (п.3, с.12).

Требуется: Определить необходимую площадь сечения арматуры в пролетах, в опорных сечениях балки, построить эпюру арма­туры, проверить прочность наклонных сечений.

Решение: 1. Необходимо построить огибающие эпюры моментов 10^ти-пролетной неразрезной балки, в пролетах (используя коэф­фициенты β на рис.5) и в опорных зонах (используя табл.5 при отношении ν /ρ =0, 53).

а) Определяем значения положительных пролетных моментов в точках 1, 2…

,

,

.

Эпюры пролетных моментов во всех пролетах обращаются в ноль на расстояниях 0, 15 l от граней главных балок.

- макси­мум во втором пролете,

Достаточно определять величины изгибающих моментов в двух крайних пролетах и на двух крайних опорах, т.к. в остальных пролетах и на опорах значения М повторяются.

б) Определяем значения отрицательных и минимальных моментов по табл.5 в соответствующих точках.

Эпюра отрицательных моментов в первом пролете обращается в ноль на расстоянии 0, 167 l слева от точки 5 (рис.5) при отношении ν /ρ = 0, 5.

в) Определяем максимальные значения поперечных сил на

опорах:

в первом пролете:

во втором и последующих пролетах:

г) По максимальным значениям пролетных моментов находим максимально требуемую площадь нижней рабочей арматуры в балках:

для 1 пролета: М _max=42, 98кН м,

ширина балки в _в=200см, высота балки h _в =40 см,

защитный слой (от низа балки до центра тяжести растянутой арматуры) а _з=6 см, рабочая высота сечения h ₀= h _в= а _з= 40-6 ⁼ 34 см.

Определяем минимально требуемую величину рабочей высоты сечения

A_0R=0, 29 при ξ _R=0, 35.

Условие выполнено h ₀ =34 > 29 см,

По табл.4 находим при A₀=0, 023,

Требуемая площадь арматуры:

Принимаем 4 Ø 12 A-III с фактической площадью сечения 3, 39 см² (табл.3).

Находим фактический момент, воспринимаемый фактической площадью арматуры:

Разница, характеризующая перенапряжение:

- условие удовлетворено.

Организуем армирование балки 1 пролета двумя вертикальны­ми каркасами (рис.7), объединенными в пространственный каркас соединительными стержнями Ø 8A-I которые располагаются поперек балки через 1 м сверху и снизу.

Верхний продольный стержень каркаса ставят конструктивно Ø 10A-I для обеспечения проектного положения поперечной арматуры (хомутов).

Кроме того, этот стержень воспринимает часть отрицатель­ного изгибающего момента, действующего в опорной зоне.

Для первой промежуточной опоры:

b=S=20 см (т.к. растянутой от М₅ будет верхняя зона балки на опоре), h ₀= h _в- а _з =40-4=36см,

а _з=4см.

Изгибающий момент не опоре, воспринимаемый 2 стержнями

Ø 10A-I (c ).

Остальную часть изгибающего момента М_сет=M_s-М_ст необхо­димо передать на 2 одинаковые сетки С-5, укладываемые одна на другую со смещением (рис.7),

Требуемая площадь арматуры 2 сеток из стали Вр-I:

Принимаем шаг рабочей арматуры сеток (располагаемой вдоль второстепенных балок) равным 20 см. На расстоянии в =2000 см потребуется для двух сеток 20 стержней. Площадь одного стерж­ня f _s A _s/n =1, 55/20=0, 03 см². Минимальный диаметр Ø 3Вр-I имеет площадь f _s=0, 07cм² - yдoялeтвopяeт. Стержня перпендикулярного направления принимаем также Ø 3Вр-I с шагом 25 см. Ширина сеток С-5 определяется графически с эпюры материалов. Длина сеток равна суммарной длине одного ряда главных балок здания (в нашем случае 18м).

Обозначим сетку С-5 согласно ГОСТ 21.503-80.

Аналогично определяется требуемая площадь пролетной и опорной арматуры для второго пролета, в целях сокращения объема работы этот расчет не приводится (для курсового проекта обязательно).

6. ПОСТРОЕКИЕ ЭПЮРЫ МАТЕРИАЛОВ

Эпюра материалов (эпюра арматуры) - график, отображающий рациональное использование продольной арматуры по длине балки, а также характеризующий величину принимаемого изгибающего момента рабочей арматурой по длине балки.

Построение эпюры материалов осуществляется расчетно-графическим способом.

Рис6 Расчетные пролёты, огибающая эпюра моментов и эпюра материалов второстепенной балки

Для зоны отрицательных моментов:

Значение изгибающего момента, воспринимаемого двумя стержнями Ø 10A-I (М_ст) откладывают на оси ординат и проводят гори­зонтальную линию выше оси абсцисс. Там, где данная линия пере­секает эпюру отрицательных моментов, находятся теоретические места обрыва сеток (т.е. далее они не требуются). Из точек теоретического обрыва проводятся вертикальные линии.

Затем от величины момента М_ст откладывают 2 раза значе­ние момента М_сет, воспринимаемого каждой сеткой С-5 и про­водят опять две горизонтальные линии. Точки пересечения гори­зонтальных линий с эпюрой отрицательных моментов будут точка­ми, где начинается смещение одной сетки относительно другой.

Пересечения вертикальных линий из точек теоретического обрыва с линиями откладываемых значений моментов, образуют усту­пы, называемые эпюрой арматуры.

Для зоны положительных моментов:

Значение изгибающего момента, воспринимаемого нижними дву­мя стержнями (по одному из каждого каркаса) рассчитанного по формуле:

где 2 f _s = 2, 26 см - фактическая площадь двух стержней Ø 12A-III (400);

η =0, 99, h ₀=37см, R _s=375МПа,

откладывают на оси ординат и проводят горизонтальную линию. Место пересечения с эпюрой положительных моментов обозначает точку теоретического обрыва второго ряда нижней арматуры второстепенной балки. Из точки теоретического обрыва проводят вертикальную линию до пересечения ее с горизонтальной линией, характеризующей полную величину момента, воспринимаемого че­тырьмя стержнями - М.

Из условия выдергивания арматура заводится за точки теоре­тического обрыва не менее, чем на большую из величин:

1) ω ≥ 20d, где и d-.диаметр обрываемого стержня;

2) ω ≥ 5d+Q/2q_sw, где Q - поперечная сила в точ­ке теоретического обрыва стержня (определяется из подобия треу­гольников на эпюре Q);

R _s- расчетное сопротивление поперечной ар­матуры (кл А-II);

A _sw= 1, 01 см² суммарная площадь 2^х хомутов в сечении (2Ø 8А-Ш);

S _w= 15 см - шаг хомутов в точке обрыва.

7. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЙ БАЛКИ

Расчетом прочности наклонных сечений проверяется доста­точность принятых размеров поперечного сечения балки и попе­речной арматуры вертикальных плоских каркасов. Диаметром по­перечной арматуры задаются, исходя из условия свариваемости стержней продольной и поперечной арматуры (приложение IX [7]).

Расчет наклонных сечений производится на действие попереч­ной силы и изгибающего момента. Расчет на действие изгибающего момента не производится, если обеспечено надежное сцепле­ние бетона и продольной арматуры, обеспечена надежная её анкеровка, удовлетворяются условия запусков за теоретические точки обрыва.

Прочность элемента по наклонному сечению на действие попе­речной силы считается обеспеченной, если соблюдается условие:

Q_D - поперечная сила от внешней нагрузки и опорной реакции на участке наклонной трещины Q_D =51, 3 кН - для рассмат­риваемого примера в 1 пролете второстепенной балки;

Q_sw - сумма осевых усилий в хомутах, пересекаемых наклон­ной трещиной.

Q_sw=_swC,

С - проекция длины наклонной трещины на ось балки не долж­на превышать 2 h₀.

g_sw - погонное усилие в поперечных стержнях, отнесенное к еди­нице длины элемента.

g_sw=

R_sw - зависит от класса арматуры (табл.2);

Σ A_sw - сумма площадей сечения хомутов (площадь одного стержня,

умноженная на число рядов каркасов);

Q_{s, inc} - усилие в отгибах, если отгибов нет, то Q_{s, inc} =0;

Q_в - проекция на нормаль к продольной оси равнодействующей в сжатой зоне балки

но принимается не менее

R_bt =0, 75 МПа (Бетон B-15), в =20 см, h₀ =34см,

φ _f - учитывает наличие сжатых полок тавровых сечений,

φ _f = 0 - для расчета прямоугольных сечений,

φ _n - учитывает влияние продольных сил (предварит. обжат.),

φ =0 - для монолитных железобетонных балок.

Проекция на горизонталь наклонной трещины не должна превышать С₀, определяемой из условия Q_D=Q_sw+Q_в,,

при этом Q_sw=Q_в=0, 5Q_D.

Проверим прочность наклонных сечений второстепенной балки в 1 пролете (наиболее нагруженном) на действие поперечной силы:

Q_D =51, 3кН.

Усилие, которое может воспринять бетон B-15 в наклонном сечении:

.

Усилие, которое передается на бетон наклонного сечения, находится из условия:

q_в = q_sw = q_D /2 = 51, 3 / 2 = 25, 65кН.

Максимально возможная длина проекции наклонной трещины на горизонталь:

Этой площади удовлетворяют 2Ø 8А-III с A_sw =1, 01cм².

Требуемый шаг поперечных стержней:

Согласно конструктивным требованиям, шаг поперечных стержней в приопорных участках (1/4l) не должен превышать 15 см, а в середине пролета - не более 3/4h = 3/4.40=30см.

Проверка прочности по сжатой полосе между наклонными трещинами:

Условие:

Рис 7 Схема армирования второстепенной балки

Литература.

1. СНиП 2.03.01-84. Бетонные и железобетонные конструкции. Нормы проектирования. -М,: Стройиздат, I985.-79 с., СНиП 5201-2003. Бетонные и железобетонные конструкции. Нормы проектирования. -М,: Стройиздат, 2004

2. СНиП II.22-81. Каменные и армокаменные конструкции. Нормы проектирования.-М.: Стройиздат, I983.-39 с.

3. Руководство по проектированию каменных и армокаменных конструкций.- М.: Стройиздат, 1974.-187 с.

4. СНиП 2.03.13-88. Полы. Нормы проектирования. -М.: ЦиТП Госстроя СССР, 1988.-27 с.

5. СНиП 2.01.07.-85 Нагрузки и воздействия.-М.: Стройиздат, 1986.-36с.

6. СНиП 2.02.01-83. Основания зданий и сооружений. Нормы проектирования. -М,: Стройиздат, 1984.-51с.

7. Байков В.Н., Сигалов К.Э. Железобетонные конструкции.-М.: Cтpoйиздaт, l984.-728с.

8. ГОСТ 8478-81. Сетки сварные для железобетонных конструкций. - М.: Издательство стандартов, 1982.-15 с.

9. ГОСТ 21.501-93. Конструкции бетонные и железобетонные. Рабочие чертежи. -М.: Издательство стандартов, 1996.-11 с.

.