Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Постановка задачи численного интегрирования.
При вычислении определенного интеграла где — непрерывная на отрезке функция, иногда удается практически воспользоваться формулой Ньютона—Лейбница: (5.27) Здесь одна из первообразных функций (т.е. такая функция, что ). Однако даже в тех практически редких случаях, когда первообразную удается явно найти в аналитической форме, не всегда удается довести до числового ответа значение определенного интеграла. Если к тому же учесть, что иногда подынтегральная функция вовсе задается таблицей или графиком, то становится понятным, почему формула (5.27) не исчерпывает практических приемов вычисления интегралов. На практике часто применяют различные методы приближенного (численного) интегрирования. Формулы, используемые для приближенного вычисления интегралов, называют квадратурными формулами. Простой прием построения квадратурных формул состоит в том, что подынтегральная функция заменяется на отрезке интерполяционным многочленом, например многочленом Лагранжа , и принимается приближенное равенство (5.28) Подобный подход удобен тем, что он приводит к алгоритмам, легко реализуемым на компьютере и позволяющим получить результат с точностью, достаточной для широкого круга практических приложений. При этом предполагается, что отрезок разбит на частей точками наличие которых подразумевается при построении многочлена . В силу фактической единственности интерполяционного полинома й степени для данной функции и данной системы узлов не имеет значения, использовать ли в этой процедуре многочлен Лагранжа или многочлены Ньютона. Подставляя в (5.28) вместо его представление (4.11), получим
Таким образом, (5.29) где (5.30)
По поводу полученных формул можно заметить, что: 1) коэффициенты не зависят от вида функции , так как они составлены только с учетом узлов интерполяции; 2) если — полином степени то тогда формула (5.17) —точная, ибо в этом случае
|