Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции, заданной таблицей с постоянным шагом, составлена таблица конечных разностей (см. табл. 4.4). Будем ис­кать интерполяционный многочлен в виде

(4.13)

Это — многочлен n -й степени. Значения коэффициентов найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах.

Полагая х = х₀, из (4.13) находим у₀ = Р_n(х₀) = а₀, откуда a₀=y₀.. Далее, полагая х = х₁ получаем

откуда

При x = x₂ имеем

т. е. у₂ - 2 у₀ -у₀ = 2h²a₂, или у₂ – 2 y₁ + у₀ = 2h²a₂, откуда

а₂ = ²y₀/2h².

Проведя аналогичные выкладки, можно получить а₂ = ³y₀/3! h³.

Исходя из этих формул, методом полной математической индукции можно доказать, что в общем случае выражение для а_k будет иметь вид

(4.14)

Подставим теперь (4.14) в выражение для многочлена (4.13)

(4.15)

Часто эта формула записывается в несколько ином виде. Введем вместо переменной х новую переменную t: , или, напротив, . Тогда

и т.д. После этого формула (4.15) примет вид

(4.16)

Формула (4.16) называется первой интерполяционной формулой Ньютона.

Эта формула традиционно применяется для интерполирова­ния в начале отрезка интерполяции, для значений t в интервале (0, 1). Первую интерполяционную формулу Ньютона называют по этой причине формулой для интерполирования вперед. Заметим, что путем переопределения узлов за начальное значение х₀ мож­но принимать любое табличное значение аргумента х (отбросив “лишние” узлы слева).

Пример 4.3. Построить интерполяционный многочлен Ньюто­на по следующим данным:

Построим таблицу разностей:

x	y
0, 5	1, 715
		0, 633
	2, 348		0, 146
		0, 779		1, 237
1, 5	3, 127		1, 383		-1, 157
		2, 162		0, 080
	5, 289		1, 463
		3, 625
2, 5	8, 914

Таким образом, многочлен Ньютона, представленный в фор­ме (4.15), имеет вид

Представим тот же многочлен в форме (4.16). Введем переменную и получим