Нехай функція визначена на множині , і нехай – внутрішня точка множини .

Означення. Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує така куля , що для всіх точок , які не співпадають з точкою , виконано нерівність:

.

Означення. Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує така куля , що для всіх точок , які не співпадають з точкою , виконано нерівність:

.

Точки максимуму та мінімуму функції називаються точками екстремуму цієї функції.

Теорема (необхідні умови екстремуму функції). Нехай точка є точкою екстремуму функції , і нехай у цій точці існують частинні похідні . Тоді

.

Доведення. Нехай – точка екстремуму функції . Для визначеності вважатимемо, що – точка максимуму. Тоді існує куля така, що виконано:

.

Розглянемо функцію однієї змінної

.

Тоді існує такий -окіл точки , що для будь якого значення з цього околу виконано: , тобто точка є точкою максимуму функції . За умовою теореми існує , отже існує . За теоремою про необхідну умову екстремуму функції однієї змінної маємо: . Але . Тому . Аналогічно доводимо, що . Теорему доведено.

Наслідок. Якщо в точці екстремуму функція диференційовна, то

. (18.1)

Дійсно, оскільки в точці функція диференційовна, то в цій точці існують частинні похідні , а оскільки – точка екстремуму, то , звідки й випливає рівність (18.1).

Зауваження. Обернене твердження до доведеної теореми несправедливе, тобто з того, що частинні похідні 1-го порядку функції у точці дорівнюють нулю, не випливає наявність в цій точці екстремуму. Розглянемо, наприклад, функцію двох змінних . Маємо , і обидві ці похідні дорівнюють нулю у точці . Разом з цим екстремуму у цій точці нема. Дійсно, значення функції у цій точці . Зрушимось з цієї точки на скільки завгодно малу величину вздовж осі . Отримаємо . А якщо зрушимось на величину вздовж осі , то отримаємо: . З курсу аналітичної геометрії відомо, що графіком цієї функції є гіперболічний параболоїд, і точка – його сідлова точка.

З іншого боку функція може мати екстремум у тих точках, де її похідні 1-го порядку не існують. Наприклад функція має екстремум (саме мінімум) у точці (0, 0), а похідні

у цій точці не існують.

Означення. Якщо у точці всі частинні похідні 1-го порядку функції існують і дорівнюють нулю, то точка називається стаціонарною точкою функції .

З доведеної теореми випливає, що точка екстремуму диференційовної функції буде стаціонарною точкою. Але обернене твердження несправедливе, тобто стаціонарна точка функції може не бути точкою її екстремуму. Тому потрібно мати достатні умови існування екстремуму функції. Ми обмежимось тільки формулюванням таких умов.

Теорема (достатні умови екстремуму). Нехай точка є стаціонарною точкою функції . І нехай у точці існують неперервні частинні похідні 2-го порядку функції . Тоді, якщо

де серед величин хоча б одна відмінна від нуля (тобто ), то точка є точкою екстремуму функції . А саме, якщо при , то – точка мінімуму. Якщо при , то – точка максимуму.

Якщо на деякому наборі виконано , а на деякому наборі виконано , то в точці екстремуму нема.

Якщо існує такий набір , що на ньому , то в точці екстремум може бути, а може й не бути (сумнівний випадок).

Для випадку функції двох змінних ця теорема має більш зручний для використання наслідок

Теорема (достатні умови екстремуму функції двох змінних).Нехай у стаціонарній точці функція має неперервні частинні похідні другого порядку. Якщо визначник

, то функція має в точці екстремум, а саме максимум, якщо , і мінімум, якщо .

Якщо , то екстремуму у точці немає.

Якщо , то екстремум у точці може бути, а може і не бути (так званий сумнівний випадок, і для встановлення наявності чи відсутності екстремуму тут необхідні додаткові дослідження).

Приклади.

1. Дослідити на екстремум функцію

.

1). Знайдемо критичні точки

.

Дорівнюючи ці похідні до нуля, отримуємо систему рівнянь:

Розв’язуючи цю систему, отримуємо дві стаціонарні точки .

2). Перевіримо виконання у точках достатніх умов екстрему-

му. Маємо:

,

.

У точці маємо: – отже в цій точці екстремуму нема.

У точці маємо: – отже в цій точці є екстремум, а саме мінімум, оскільки . Значення функції у цій точці .

2. Дослідити на екстремум функцію

.

Стаціонарною є тільки точка , оскільки .

У цій точці:

,

,

отже , і виникає сумнівний випадок, теорема не дає відповіді. Але з самої функції видно, що , а у решті точок , отже у точці маємо мінімум.