Градієнт.

Розглянемо похідну функції у точці за деяким напрямом :

. (14.1)

Поставимо питання: як обрати напрям , щоб похідна прийняла найбільше значення?

З формули (14.1) випливає, що можна розглядати як скалярний добуток двох векторів: вектора і вектора .

Означення. Вектор називається градієнтом функції в точці .

Позначається градієнт як

.

Таким чином:

.

За означенням скалярного добутку маємо:

, де – кут між градієнтом і вектором (рис. 9).

Рис. 9.

Оскільки , то , отже:

, тобто величина похідної за напрямом в точці дорівнює довжині проекції градієнта на напрям . Очевидно, що приймає максимальне значення при , тобто , а це означає, що напрям у цьому випадку збігається з напрямом градієнта функції . При цьому:

.

На підставі цього можна стверджувати, що градієнт характеризує величину і напрям максимальної швидкості зростання (оскільки ) функції. Очевидно тепер, що напрям найшвидшого спадання функції збігається з напрямом , тобто антиградієнта функції.

Аналогічно визначається градієнт функції змінних :

.

Для функції 2-х змінних :

.

Нескладно встановити, що напрям градієнта функції 2-х змінних співпадає з напрямом нормалі до лінії рівня цієї функції. Дійсно, у точці вектор дотичної до лінії має координати . Отже скалярний добуток

, а це означає, що вектор перпендикулярний до вектора , тобто напрямлений саме за нормаллю до лінії .

Приклади.

1. Знайти величину і напрям градієнта функції в точці .

Маємо:

.

Таким чином:

.

Довжина градієнта:

.

Напрям градієнта характеризується його напрямними косинусами:

.

2. Горизонталі підвищенності визначаються рівнянням

.

Побудувати горизонталі, які відповідають відміткам 20 м, 19 м, 18 м,

16 м та 11 м. Напрям визначає тут напрям найкрутішого схилу, а його величина – крутизну цього схилу. Побудувати у точці .

Рис. 10.

Побудуємо горизонталі (рис. 10):

1) ; тоді – це точка ;

2) ; тоді – еліпс з півосями ;

3) ; тоді , або – еліпс з півосями ;

4) ; тоді , або – еліпс з півосями ;

5) ; тоді , або – еліпс з півосями .

Точка лежить на лінії рівня (горизонталі) . Градієнт напрямлений перпендикулярно дотичній, яку проведено до даній лінії рівня у цій точці (рис. 10). Знайдемо:

, отже

.