Складені функції та їх диференціювання.

Розглянемо функцію змінних . Припустимо, що змінні у свою чергу є функціями змінної :

.

Тоді функція буде складеною функцією змінної :

.

Теорема. Якщо функції диференційовні в точці , а функція диференційована у відповідній точці . Тоді складена функція диференційовна у точці , і справедлива формула:

. (11.1)

Доведення. Надамо змінній приріст , тоді змінні отримають відповідно прирости . У свою чергу функція отримає приріст . Оскільки диференційовна в точці , то

, де – нескінченно малі при . Поділимо обидві частини цієї рівності на :

.

Оскільки диференційовні у точці , то

.

З диференційовності функцій в точці випливає їх неперервність в цій точці, отже

, а звідси .

Таким чином існує

.

Теорему доведено.

Для функції 2-х змінних , де , маємо:

. (11.2)

Зокрема, якщо , , то

. (11.3)

Доведена теорема поширюється на більш загальний випадок. Нехай маємо функції , …, диференційовні в точці простору . Нехай , де – відповідна точка простору .

Теорема. Якщо функції , де , диференційовні у точці , а функція диференційовна у відповідній точці , то складена функція диференційовна у точці , і справедливі формули:

,

…

.

Для функції 2-х змінних , де , маємо:

, . (11.4)

Приклади.

1. Знайти , якщо , де , .

За формулою (11.2) маємо:

.

2. Знайти , якщо .

У розділі «Диференціальне числення функції однієї змінної» похідні таких функцій ми знаходили шляхом використання формули логарифмічного диференціювання. Тут ми скористаємось апаратом диференціювання складених функцій декількох змінних. Позначимо: , . Тоді . Згідно з формулою (11.2) маємо:

= .

3. Знайти , якщо , де .

Маємо: , . Згідно з формулою (11.4):

,

.

Отже:

.