Диференційовність функції багатьох змінних.

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо змінним відповідно прирости . Вважатимемо, що точка .

Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст у цій точці може бути подано у вигляді:

, (9.1) де .

Іншими словами повний приріст функції має вигляд суми доданків двох типів. До першого типу відносяться сума , доданки якої лінійні відносно . До другого типу відноситься сума , яка при є нескінченно малою вищого порядку, ніж .

Нехай, зокрема, маємо функцію 2-х змінних , яку визначено в околі точки . Надамо змінним прирости відповідно . Тоді функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст може бути подано у вигляді:

, де від не залежать, а .

Приклад. Розглянемо функцію . Її повний приріст має вигляд:

.

Доданки лінійні відносно , а доданки при нескінченно малі вищого порядку, ніж . Таким чином дана функція диференційована у точці .

Теорема. Якщо функція диференційовна у точці , то вона неперервна у цій точці.

Доведення. Оскільки функція диференційовна в точці , то її повний приріст у цій точці має вигляд:

, звідки випливає, що , а це й означає, що функція неперервна в точці .

Теорема. Якщо функція диференційовна в точці , то вона має в точці частинні похідні .

Доведення. Нехай функція диференційовна в точці . Тоді її повний приріст у цій точці має вигляд:

, де разом з . Покладемо в цій рівності . Тоді повний приріст перетвориться на частинний приріст , і маємо:

.

Поділимо обидві частини цієї рівності на і перейдемо до границі при . Дістанемо:

.

В лівій частині цієї рівності стоїть , отже

.

Аналогічно отримуємо:

.

Таким чином функція має в точці всі частинні похідні , причому ці частинні похідні співпадають відповідно з коефіцієнтами в рівності (9.1):

. (9.2)

Теорему доведено.

З урахуванням (9.2) рівність (9.1) набуває вигляду:

. (9.3)

Зокрема для функції 2-х змінних маємо:

.

Наприклад, для розглянутої вище функції маємо:

.

Зауваження. Обернені твердження до двох останніх теорем, взагалі, кажучи, несправедливі. Зокрема, з неперервності функції і в точці не випливає її диференційовність в цій точці. Наприклад, функція неперервна у точці , але не диференційовна в ній. Дійсно, границя

не існує, тому не існує похідна . А тоді на підставі останньої теореми отримуємо, що дана функція не є диференційовною в точці .

З існування частинних похідних функції у точці також не випливає диференційовність функції в цій точці (на відміну від функцій однієї змінної). Розглянемо, наприклад, функцію

Покажемо, що існують . Дійсно

,

.

Разом з цим ця функція не є навіть неперервною у точці (див. п. 6, приклади 2, 4), а отже не є й диференційовною.

Теорема. Нехай функція в точці має частинні похідні , і всі ці похідні неперервні в точці . Тоді функція диференційовна в точці .

Доведення. Для спрощення обмежимось випадком функції 2-х змінних (загальний випадок розглядається аналогічно). Розглянемо повний приріст функції . Віднімемо та додамо доданок , внаслідок чого матимемо:

.

Перші квадратні дужки містять приріст функції за змінною при фіксованому значенні другої змінної. За формулою Лагранжа матимемо:

, де знаходиться між та .

Аналогічно:

, де знаходиться між та .

Спрямуємо та до нуля. Внаслідок неперервності матимемо:

.

Отже:

, де – нескінченно малі при . А тоді

, тобто функція диференційовна у точці , що й треба було довести.