Частинні похідні функції багатьох змінних.

Розглянемо функцію , яку визначено в деякому околі точки . Надамо змінній приріст і розглянемо точку , яку також вважаємо внутрішньою точкою множини . Решта координат точки залишається незмінною.

Означення. Частинним приростом функції у точці за змінною називається величина

.

Означення. Якщо існує скінченна границя , то ця границя називається частинною похідною 1-го порядку функції за змінною , і позначається як

.

Аналогічно визначаються частинні прирости функції у точці за кожною з решти змінних :

.

Означення. Якщо існує скінченна границя , то ця границя називається частинною похідною 1-го порядку функції за змінною , і позначається як

.

Позначення (саме з круглими «» на відміну від позначення для похідної функції однієї змінної ) було введено К. Г. Якобі[2].

Зокрема для функції 2-х змінних маємо частинні похідні , , а для функції 3-х змінних – частинні похідні , , .

З наведених означень випливає, що якщо частинна похідна функції береться за однією зі змінних, то вся решта змінних вважаються сталими. Отже знаходження частинних похідних функції багатьох змінних здійснюється за тими ж самими правилами, що й звичайні похідні функції однієї змінної.

Приклади. Знайти частинні похідні.

1. .

Вважаючи сталою, отримаємо:

.

Вважаючи сталою, отримаємо:

.

2. .

.

3. .

,

.

4. .

.

Відносно ця функція є показниковою (оскільки у даному випадку основа степеня ), а відносно – степеневою ().

5. .

.

6. Обчислити визначник

, де (формули відповідності між декартовими та сферичними координатами).

Маємо:

,

,

.

Отже:

З’ясуємо геометричний зміст частинних похідних функції . Нехай геометричним зображенням цієї функції є деяка поверхня (рис. 9), – точка на цій поверхні.

Поклавши , отримаємо плоску криву , яка уявляє собою переріз поверхні відповідною площиною, паралельною площині . Нехай – дотична до кривої у точці , і – кут, утворений цією площиною з додатним напрямом осі . Оскільки

, то на підставі геометричного змісту звичайної похідної функції однієї змінної, маємо

.

Аналогічно, якщо – переріз поверхні площиною , і –кут, утворений з віссю дотичною у точці до кривої , то .

Рис. 7.