Границя і неперервність функції багатьох змінних.

Розглянемо функцію змінних . Припустимо, що ця функція визначена у деякому околі точки простору за винятком самої точки .

Означення. Число називається границею функції при , якщо таке, що виконано:

.

Можна надати означення границі функції й на мові послідовностей (означення Гейне):

Означення. Число називається границею функції при , якщо для будь якої послідовності точок , всі елементи якої належать , і такої, що , виконано: .

Еквівалентність цих двох означень доводиться також, як й для функції однієї змінної.

Якщо число є границею функції при , то пишемо:

.

Розглянемо, зокрема, функцію 2-х змінних . Нехай цю функцію визначено в деякому околі точки за винятком самої точки . Якщо є границею функції при , то пишемо:

.

Тобто , виконано: .

Приклад 1. Доведемо, що . Задамо довільне і розглянемо:

.

Звідси видно, що для того, щоб для будь яких таких, що , було виконано , достатньо, щоб , тобто . Наприклад, можна взяти . Таким чином, для довільного ми знайшли таке, що при виконанні нерівності виконано . Це й означає, що .

Приклад 2. Доведемо, що функція

не має границі при . Візьмемо послідовність точок . Оскільки , то . Тепер візьмемо послідовність точок . Тоді , отже . Для будь якого точки , не співпадають з точкою , але послідовності точок , прямують до точки . Тем не менш послідовності значень функції, які відповідають цим послідовностям точок, прямують до різних границь. Це означає, що функція не має границі при .

Означення. Функція , яку визначено в деякому околі точки (включаючи саму точку ) простору називається неперервною в точці , якщо існує , причому .

Тобто, якщо таке, що виконано .

Нехай , . Позначимо: , . Назвемо величини – приростами аргументів функції а величину – повним приростом функції в точці . Очевидно, що, якщо , то , а якщо , то . Тоді означення неперервності функції в точці можна сформулювати так.

Означення. Функція , яку визначено в деякому околі точки (включаючи саму точку ) простору називається неперервною в точці , якщо .

Тобто нескінченно малим приростам аргументів у точці відповідає нескінченно малий повний приріст функції в цій точці.

Приклад 3. Покажемо, що функція неперервна в будь якій точці площини . Нехай – довільна точка площини . Функція визначена на всій площині , і . Легко довести (аналогічно прикладу 1), що . Отже функція неперервна в точці .

Приклад 4. Функція

не є неперервною в точці (0, 0), оскільки границі цієї функції при не існує (див. приклад 2).

Легко показати, що якщо функції , неперервні у точці , то функції , також неперервні в точці . Частка неперервна в точці , якщо .

Означення. Функція називається неперервною на множині , якщо ця функція неперервна в кожній точці множини .

Перша теорема Вейєрштрасса. Якщо функція неперервна на замкненій та обмеженій множині , то функція обмежена на множині .

Друга теорема Вейєрштрасса. Якщо функція неперервна на замкненій та обмеженій множині , то функція досягає на множині свого найбільшого та найменшого значень.