Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Відкриті та замкнені множини у метричному просторі.






 

Нехай – множина точок у метричному просторі .

Означення. Множина називається обмеженою, якщо існує точка і число такі, що .

Означення. Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо існує таке, що .

Тобто разом з точкою множини цій множині належить й деяка куля з центром у точці (рис. 1).

 

Рис. 1.

 

Сукупність всіх внутрішніх точок множини позначається як . Очевидно, що . Якщо , тобто множина складається тільки з внутрішніх точок, то множина називається відкритою у метричному просторі .

Приклади.

1. Нехай , . Тобто в якості множини розглядається інтервал на числовій прямій. Легко зрозуміти, що інтервал є відкритою множиною. Дійсно, нехай – довільна точка інтервалу . Розглянемо -окіл цієї точки (тобто кулю ), де . Очевидно, що цей окіл цілком належить інтервалу .

2. Куля у метричному просторі є відкритою множиною. Дійсно, розглянемо у просторі кулю . Нехай точка . Куля , де , цілком належить кулі . Дійсно, нехай . Тоді . Це й означає, що . Оскільки – довільна точка кулі , то .

Відкриті множини мають наступні властивості.

Властивість 1. Простір та порожня множина є відкритими множинами.

Властивість 2. Об’єднання двох відкритих множин є відкрита множина.

Доведення. Нехай , де – відкриті множини. Нехай . Тоді належить принаймні однієї з множин або . Нехай для визначеності . Тоді таке, що , а тим більш , тобто – внутрішня точка множини . Внаслідок довільності точки множина відкрита.

Наслідок. Об’єднання будь якої множини відкритих множин є відкрита множина.

Властивість 3. Перетин двох відкритих множин є відкрита множина.

Доведення. Нехай , де – відкриті множини. Нехай . Тоді та . Тоді таке, що , та таке, що . Покладемо . Тоді , , отже . Це й означає, що – відкрита множина.

Наслідок. Перетин скінченного числа відкритих множин є відкрита множина.

Зауваження. Перетин нескінченного числа відкритих множин може й не бути відкритою множиною.

Приклад. Розглянемо у просторі множину інтервалів , . Очевидно, що . Перетином цієї множини інтервалів є точка . Але множина не є відкритою (будь який інтервал , цій множині вже не належить).

Нехай – метричний простір.

Означення. Околом точки називається будь яка множина точок простору , для якої точка є внутрішньою.

Означення. -околом точки називається куля .

Означення. Точка називається граничною точкою множини , якщо в будь якому околі точки існують точки множини .

Гранична точка множини може належати множині , а може й не належати. Наприклад, всі точки інтервалу є його граничними точками. Точки і також його граничні точки, але вони інтервалу не належать.

Означення. Межовою точкою відкритої множини називається гранична точка цієї множини, яка цій множині не належить.

Наприклад, для інтервалу межовими є точки .

У будь якому околі межової точки множини існують точки, які множині належать, та точки, які множині не належать (рис. 2).

 

 

Рис. 2.

 

 

Означення. Межею відкритої множини називається множина всіх її межових точок.

Наприклад, для кулі межею буде сфера у просторі , тобто .

Означення. Об’єднання відкритої множини та її межі називається замкненою множиною.

Наприклад, відрізок є замкненою множиною. Очевидно, що всі граничні точки замкненої множини належать цій множині.

 

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.