Послідовності у метричному просторі.

У довільному метричному просторі також можна розглядати послідовності його елементів (точок), подібно тому, як це робилося у випадку множини .

Означення. Послідовністю точок метричного простору називається зліченна занумерована сукупність точок цього простору:

Означення. Число називається границею послідовності , якщо . У цьому випадку пишемо: .

Тобто , якщо .

Для послідовностей у довільному метричному просторі має місце низка теорем, які є узагальненням відповідних теорем для послідовностей в .

Теорема 1. Якщо послідовність має скінченну границю , то таке, що виконано: .

Доведення. Оскільки , то . Позначимо: . Тоді : , де .

Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

Доведення. Припустимо, що послідовність має дві границі: , , причому , тобто . Тоді : , та : . Згідно з нерівністю трикутника:

.

Покладемо: . Тоді дістаємо: , тобто , що неможливо.

Означення. Кулею радіусу з центром у точці називається наступна множина точок метричного простору :

.

Зокрема, якщо , то .

Теорема 3. Для того, щоб послідовність точок метричного простору , де збігалася до точці , необхідно і достатньо виконання рівностей:

.

Доведення. Необхідність. Нехай . Тоді . Згідно з формулою (2.1):

, звідки випливає, що .

Достатність. Нехай . Тоді , отже

.

Означення. Послідовність точок метричного простору називається фундаментальною, якщо таке, що виконано: .

Теорема 4. Якщо послідовність точок метричного простору збігається, то вона фундаментальна.

Доведення. Нехай . Тоді таке, що , виконано: , . Тоді згідно з нерівністю трикутника: , що й означає фундаментальність.

Зауваження. На відміну від простору обернене твердження несправедливе. Тобто у довільному метричному просторі фундаментальна послідовність може бути розбіжною.

Приклад. Нехай – множина раціональних чисел. Відстань між раціональними числами та визначимо як (легко переконатися, що всі умови відстані виконано). Розглянемо в числову послідовність , де

.

Відомо, що , тобто ця послідовність збіжна, а отже фундаментальна. Але , отже у просторі ця послідовність границі не має.