Метричний простір .

Означення. Множина називається метричним простором, якщо кожній парі елементів та цієї множини поставлено у відповідність невід’ємне число , яке називається відстанню між елементами та , таке, що виконано наступні умови:

1) тоді і тільки тоді, коли ;

2) ;

3) (нерівність трикутника).

Елементи метричного простору будемо називати точками. Число називається також метрикою в просторі .

Приклади.

1. Нехай – множина дійсних чисел. Тоді можна визначити

як . Таким чином – метричний простір.

2. Нехай – множина пар дійсних чисел , . Визна-

чимо:

.

Таким чином отримуємо метричний простір, який позначається як .

3. Нехай – множина упорядкованих трійок дійсних чисел:

, . Визначимо:

.

Отримуємо метричний простір, який позначається як .

Просторам можна надати наглядну геометричну інтерпретацію. Розглянемо простір . Як ми знаємо, між множиною дійсних чисел і множиною точок числової прямої існує взаємно однозначна відповідність. І відстань між точками прямої співпадає з відстанню між відповідними точками простору . Тому простір фактично ототожнюється з множиною точок прямої (одновимірний простір). Аналогічним чином простір ототожнюється з множиною точок координатної площини (двовимірний простір), а простір – з множиною точок тривимірного координатного простору.

Узагальнюючи поняття просторів , можна ввести багатовимірні простори.

Означення. Евклідовим простором називається метричний простір, елементами якого є упорядковані сукупності дійсних чисел: , , , причому відстань між ними визначається формулою:

. (2.1)

Властивості 1), 2) відстані, очевидно, виконано. Покажемо, що виконано властивість 3). Для цього доведемо так звану нерівність Коші–Буняковського: :

. (2.2)

Розглянемо квадратний тричлен:

, де , , . Оскільки цей тричлен невід’ємний для будь яких , то його дискримінант недодатний, а саме , тобто отримуємо нерівність (2.2).

Доведемо тепер нерівність Мінковського:

. (2.3)

З нерівності Коші–Буняковського маємо:

.

Добуваючи з обох частин отриманої нерівності квадратний корінь, отримуємо нерівність (2.3).

Покладаючи в (2.3) , , отримуємо нерівність трикутника:

.

З ім’ям Мінковського[1] пов’язано метричний простір, який не є евклідовим, і який відіграє помітну роль у теоретичній фізиці, зокрема, в теорії відносності.