Поняття функції багатьох змінних.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних.

Автори:

Щоголев С. А., доктор фізико-математических наук, професор кафедри вищої математики, доцент

Грибняк С. Т., кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри вищої математики, доцент

Рецензенти.

Попов В. Г. – доктор фізико-математичних наук,

завідуючий кафедрою вищої математики Одеської національної

морської академії, професор

Плотніков А. В. – доктор фізико-математичних наук,

завідуючий кафедрою прикладної та обчислювальної

математики і САПР Одеської державної академії

будівництва та архітектури, професор

Григор’єв Ю. О. – кандидат фізико-математичних наук,

доцент кафедри вищої та прикладної математики

Одеського національного морського університету, доцент

Навчально-методичний посібник написано відповідно до навчальної програми дисципліни «Математичний аналіз» для підготовки бакалаврів, спеціалістів та магістрів за спеціальностями «фізика», «прикладна фізика», «астрономія».

Посібник містить основні поняття, методи, теореми та формули, багато розв’язаних типових задач, а також завдання для самостійної роботи студентів.

Рекомендовано науково-методичною радою ОНУ імени І. І. Мечникова (протокол № 1 от 24.10.2013).

Поняття функції багатьох змінних.

У попередніх розділах курсу математичного аналізу ми познайомилися з поняттям функції однієї незалежної змінної , тобто коли змінна залежить тільки від однієї незалежної змінної . Разом з цим при розгляді різноманітних задач природознавства, техніки, економіки тощо доводиться мати справу з величинами, чисельні значення яких залежать від значень декількох, незалежних одна від одної, змінних.

Приклади.

1. У відповідності з законом всесвітнього тяжіння гравітаційна сила взаємодії між двома матеріальними частинками залежить від мас цих частинок і відстані між ними:

( – гравітаційна стала).

2. Згідно з законом Ома сила струму, що тече по однорідному металевому провіднику, залежить від напруги і опору :

.

У свою чергу величина опору залежить від форми та розмірів провідника, а також від властивостей матеріалу, з якого його виготовлено. Для однорідного циліндричного провідника

, де – довжина провідника, – площа його перерізу, – питомий опір провідника.

3. Об’єм кругового циліндру залежить від двох величин – радіусу його основи та висоти:

.

4. Величина створеного суспільного продукту залежить від сукупних витрат живого (у матеріальному виробництві) і сумарного об’єма виробничих фондів :

( – сталі).

Вивчення таких величин приводить до поняття функції двох змінних. Для ефективного використання цих функцій в задачах практики необхідна послідовна математична їх теорія.