Графіка функції.

На підставі результатів, викладених у попередній лекції, можна сформулювати наступну загальну схему дослідження та побудови графіка функції .

1. Знайти – область визначення функції .

2. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат. Для знаходження точки перетину з віссю (вона, якщо є, то єдина) треба знайти значення , а для знаходження точок перетину з віссю , треба знайти нулі функції, тобто розв’язати рівняння .

3. Дослідити функцію на парність, непарність і періодичність. Якщо функція парна (тобто ), або непарна (тобто ), то достатньо побудувати її графік лише у правій півплощині, а потім відобразити симетрично відносно осі (у випадку парної функції), або відносно початку координат (у випадку непарної функції). Якщо функція періодична з періодом , то достатньо побудувати її графік на будь якому проміжку довжини (наприклад ), а потім повторити цей графік на решті проміжків довжини . Зрозуміло, що якщо функція –періодична і водночас парна або непарна, то доцільно побудувати її графік на проміжку .

4. Знайти асимптоти графіка функції.

5. Знайти інтервали монотонності і точки екстремуму.

6. Знайти інтервали опуклості та вгнутості та точки перегину.

7. Побудувати графік.

Розглянемо декілька прикладів.

Приклади.

1. .

1). Область визначення .

Функція визначена на всій числовій прямій за виключенням точки . Тому .

2). Точки перетину з осями координат.

При : , отже точка перетину з віссю : .

Розв’яжемо рівняння:

.

Це рівняння не має дійсних коренів, отже графік функції не перетинає вісь .

3). Парність, непарність, періодичність.

Функція не є ні парною, ні непарною, ні періодичною (перевірте самостійно), тобто маємо функцію загального виду.

4). Асимптоти.

А). Вертикальні асимптоти.

Оскільки функція не визначена в точці , то в цій точці можлива наявність вертикальної асимптоти. Знайдемо:

,

.

Тобто пряма є вертикальною асимптотою.

Б). Похилі асимптоти.

Знайдемо

,

.

Отже пряма є правою похилою асимптотою. Неважко переконатися, що та ж сама пряма є й лівою похилою асимптотою.

5). Проміжки монотонності та точки екстремуму.

Знайдемо:

.

Цей вираз перетворюється на нуль в точках і не визначений в точці . Це й є критичні точки I роду. Складемо таблицю:

	+		–	не існує	–		+

Точка є точкою максимуму (в ній ), а точка є точкою мінімуму (в ній ). Звернемо увагу, що значення функції в точці максимуму з’явилося меншим, ніж значення функції в точці мінімуму, що, як ми знаємо, не суперечить означенню максимуму та мінімуму.

6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.

Знайдемо:

(перевірте самостійно).

Цей вираз ніде не дорівнює нулю, але його не визначено в точці . Це критична точка II роду. Складемо таблицю:

	опукла		вгнута
	–	не існує	+

Тобто на функція опукла, а на – вгнута.

7). Графік.

Рис. 41

2. .

1). Область визначення.

2). Точки перетину з осями координат

:

: .

3). Парність, непарність, періодичність.

Функція загального виду.

4). Асимптоти.

Вертикальних нема, оскільки наша функція неперервна на всій числовій прямій. Дослідимо похилі. Знайдемо:

, тобто правої похилої асимптоти нема. Аналогічно показуємо, що нема і лівої. Таким чином асимптоти у даної функції відсутні взагалі.

5). Проміжки монотонності та точки екстремуму.

Знайдемо:

.

Похідна перетворюється на нуль в точці і не існує в точці . Складемо таблицю:

	–	не існує	+		–

6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.

.

Звідси видно, що критичними точками II роду є точки і .

	вгнута	перегин	опукла		опукла
	+		–	не існує	–

7). Графік

Рис. 42

3. .

1). Область визначення .

2). Точки перетину з осями координат.

: ; .

З віссю точок перетину нема, оскільки .

3). Парність, непарність, періодичність.

Дана функція загального виду. Але можна звести її дослідження до дослідження парної функції, якщо зробити наступне перетворення:

.

Звідси видно, що достатньо побудувати графік парної функції , а потім зсунути його на 3 одиниці вправо. Тому далі будемо досліджувати саме функцію . Її графік перетинає вісь в точці .

4). Асимптоти.

Вертикальні асимптоти відсутні, оскільки функція неперервна на всій числовій прямій. Дослідимо на похилі, причому внаслідок парності функції достатньо дослідити лише праву похилу асимптоту.

,

.

Отже пряма є правою похилою (у даному випадку горизонтальною) асимптотою.

5). Проміжки монотонності та точки екстремуму.

.

Єдиною критичною точкою I роду є точка . При : , отже на проміжку функція спадає.

6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.

.

Звідси видно, що на правій півосі єдиною критичною точкою II роду є точка . Складемо таблицю:

	опукла	перегин	вгнута
	–		+

7). Побудуємо спочатку графік функції .

Рис. 43

А тепер побудуємо графік функції , зсунувши графік функції на 3 одиниці вправо.

Рис. 44

Функції такого типу відіграють важливу роль в теорії ймовірностей і математичній статистиці та носять назву кривих Гаусса*. Вони тісно пов’язані з так званим нормальним розподілом випадкових величин, яке має дуже велике значення в статистичних дослідженнях.

4. .

1). Область визначення.

Вираз, що стоїть під знаком логарифму, повинен бути додатним, отже:

.

Розв’язком цієї нерівності є об’єднання інтервалів виду , де – ціле.

2). Точки перетину з осями координат.

З віссю точок перетину нема, оскільки точка не входить в . Знайдемо точки перетину з віссю , для чого розв’яжемо рівняння:

.

Тоді ( – ціле), тобто вісь перетинається в точках .

3). Парність, непарність, періодичність.

Дана функція є періодичною з періодом і, крім того, є парною. Тому достатньо побудувати графік функції лише на відрізку , а з урахуванням – на півінтервалі .

4). Асимптоти.

Функція може мати лише вертикальні асимптоти, оскільки досліджується на скінченому проміжку, а похила асимптота пов’язана з прямуванням до нескінченності. Вертикальна асимптота можлива в точці .

Розглянемо

.

Таким чином пряма – вертикальна асимптота.

5). Проміжки монотонності та точки екстремуму.

Маємо:

, отже функція зростає на .

6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.

Знайдемо

, отже функція опукла в усій області визначення.

7). Графік.

Рис. 45

Лекція11. Найбільше та найменше значення функції.

Розглянемо функцію , яка неперервна на відрізку . Згідно з другою теоремою Вейєрштрасса (див. розділ «Вступ до аналізу») вона досягає на цьому відрізку свого найбільшого та найменшого значень. Поставимо задачу розшукання цих значень. Зрозуміло, що вони можуть досягатися або на кінцях відрізку , або в критичних точках функції, які знаходяться всередині відрізку, тобто на інтервалі . Звідси випливає алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку .

1). Знайти критичні точки функції .

2). Відібрати серед них ті, які знаходяться на інтервалі .

3). Обчислити значення функції в цих точках.

4). Обчислити значення функції в точках і .

5) Серед всіх знайдених в попередніх двох пунктах значень відібрати найбільше та найменше.

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

1). Знайдемо критичні точки функції:

.

2). На інтервалі розташовані точки .

3). .

4) .

5). Отже .

Якщо функція неперервна тільки в інтервалі , то вона може і не досягати найбільшого та найменшого значень. Отримати інформацію про їх наявність можна якщо дослідити поведінку функції на кінцях інтервалу, обчислюючи та і знаходженням значень функції в критичних точках, які належать інтервалу .

Приклад. Знайти найменше та найбільше значення функції на інтервалі .

Дана функція не є неперервною на відрізку (розриви I роду в точках ), а на інтервалі неперервна. Знайдемо:

.

.

На інтервалі єдина критична точка , причому . При : ; при : . Таким чином, при переході через точку похідна функції змінює свій знак с плюса на мінус, отже в точці функція має локальний максимум. Таким чином, найбільше значення функції на інтервалі дорівнює , а найменшого нема.

До знаходження найменших та найбільших значень функції приводить велика кількість задач прикладного характеру.

Приклади.

1. Проектується канал зрошувальної системи, поперечний переріз якого є рівнобедрена трапеція (рис. 46). Ширина каналу по дну дорівнює , а глибина води . Яким повинен бути кут (див. рис. 46), щоб омита поверхня каналу була найменшою?

Рис. 46

Бічна сторона даної трапеції очевидно дорівнює . Отже периметр, що омивається:

.

Кут .

Знайдемо: . Ця похідна дорівнює нулю при . Знайдемо:

.

Отже в точці периметр найменший, тобто поперечний переріз каналу повинен бути прямокутним.

2. З всіх прямокутників, які вписані в еліпс

знайти той, площа якого найбільша (рис. 47).

Рис. 47

Оскільки прямокутника вписано в еліпс, то одна з вершин прямокутника лежить в першому квадранті. Позначимо її . Площа прямокутника дорівнює:

.

Очевидно, що , і таким чином треба знайти найбільше значення функції на відрізку . Для цього достатньо знайти найбільше на цьому відрізку значення функції

.

Маємо: , і при , , . На інтервалі знаходиться лише точка . Знайдемо:

, отже і досягається він в точці . таким чином шуканий прямокутник має розміри , і його площа

.

Зокрема при (тобто, коли еліпс перетворюється на коло) найбільшу площу з вписаних прямокутників має квадрат.

3. Судина з вертикальною стінкою висотою стоїть на горизонтальній площині (рис. 48).

Рис. 48

На якій глибині треба розмістити отвір, щоб дальність вильоту води з отвору була найбільшою?

Швидкість рідини, що витікає, за законом Торрічеллі дорівнює , де – прискорення вільного падіння. Позначимо через – дальність вильоту. Тоді , де – час вильоту з отвору на площину. З відповідного закону фізики відомо, що

, звідки

.

Тоді

.

Далі маємо:

; при .

Знайдемо:

Отже висота й є шуканою. Там досягається найбільше значення функції на відрізку .

Лекція 12. Інтерполяція функцій.