Теорема (необхідна умова зростання (спадання) функції).Якщо функція диференційована на та зростає (спадає) на , то .

Доведення. Припустимо для визначеності, що функція зростає на . Візьмемо довільне і надамо приріст так, щоб . Тоді, якщо , то , а якщо , то . В обох випадках відношення

.

Звідси за теоремою про зберігання знаку границі:

, що й треба було довести.

З цих теорем випливає, що інтервали монотонності (тобто інтервали зростання та інтервали спадання) функції можуть відділятися один від одного точками, у яких похідна функції або дорівнює нулю, або не існує. Такі точки називаються критичними точками I роду. Отже для знаходження інтервалів монотонності треба:

1) знайти критичні точки I роду;

2) відмітити ці точки на числовій прямій, тим самим розбивши числову пряму на інтервали;

3) визначити знак похідної функції в кожному з отриманих інтервалів; на тих інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де похідна від’ємна – функція спадає.

Приклад. Знайти проміжки зростання та спадання функції

.

Знайдемо:

.

Критичні точки дві: (в ній ) і (в ній не існує). Відмітимо їх на числовій прямій:

Рис. 32

Отримали три інтервали. Визначимо знак на кожному з них:

1) – функція зростає;

2) – функція спадає;

3) – функція зростає.

II. Точки екстремуму.

З проміжками монотонності функції тісно пов’язано таке важливе поняття, як екстремум функції. Введемо наступні означення.

Означення. Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує такий окіл цієї точки, що , виконана нерівність:

.

Означення. Точка називається точкою мінімумуу функції , якщо існує такий окіл цієї точки, що , виконана нерівність:

.

Точки максимуму та мінімуму функції називаються точками екстремуму функції.

З наведених означень випливає, що поняття екстремуму носить так званий локальний характер. В точці екстремуму досягається найбільше або найменше значення функції, але не в усій області її визначення, а лише в деякому, взагалі кажучи, достатньо малому околі цієї точки. А в точках, розташованих за межами цього околу, функція може приймати більші (менші) значення, ніж в точці максимуму (мінімуму). Таким чином точок екстремуму функція може мати декілька, навіть нескінченну кількість (рис. 33).

Рис. 33

Тут – точки максимуму, а – точки мінімуму. Як видно з рисунку, значення функції в точці мінімуму може бути більшим, ніж значення в точці максимуму ().

Географу ця ситуація може нагадувати гірський ланцюг. Припустимо, що географ, який цікавиться математикою, потрапив до гір, наприклад у Гімалаї. І здійснив сходження на одну з вершин, наприклад, Аннапурну. «Чи досяг я максимуму? – питає він себе. – Так, звичайно. Я стою на вершині і дивлюсь навкруги. Все, що поблизу мене, нижче за мене. Але дивлюсь я вдалечінь. І бачу у біло-синьому просторі ще вищу вершину – Еверест. І тоді я розумію, що, хоча я досягнув максимуму, але цей максимум локальний, відносний, так кажучи. Але ніяк не абсолютний. Адже абсолютним є Еверест».

Розшукання точок екстремуму функції є одною з важливих задач математики. Тому треба мати умови, при виконанні яких можна стверджувати, що дана точка є точкою екстремуму. Ці умови формулюються у вигляді наступних теорем.

Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо в точці функція досягає екстремуму і диференційовна у цій точці, то .

Доведення. Оскільки – точка екстремуму, то існує інтервал такий, що в точці досягається найбільше або найменше на цьому інтервалі значення. Тоді згідно з теоремою Ферма (див. лекцію 6) .

Зауваження. Обернене твердження до цієї теореми несправедливе, тобто з того, що у деякій точці похідна функції дорівнює нулю, не випливає наявність у цій точці екстремуму.

Приклад. Розглянемо функцію . Похідна цієї функції у точці дорівнює нулю. Разом з цим екстремуму в точці ця функція не має (рис. 34).

Рис. 34

З іншого боку екстремум може існувати в тих точках, де похідна не існує. Як ми знаємо, в точці функція має мінімум. Але похідної в цій точці не існує. Але знову ж таки, не в усіх точках, де похідна не існує, функція має екстремум. Наприклад, функція не є диференційовною в точці і не має в цій точці екстремуму (рис. 6).

Таким чином ті точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, або не існує (тобто критичні точки I роду) тільки можуть бути точками екстремуму. Але для того, щоб переконатися, чи дійсно там є екстремум, потрібні достатні умови екстремуму.

Теорема (перша достатня умова екстремуму). Нехай – критична точка I роду функції , яка в цій точці неперервна, і яка диференційовна в деякому околі точки , крім, можливо, самої цієї точки. Тоді, якщо при переході через точку похідна змінює свій знак, то точка є точкою екстремуму. А саме максимуму, якщо зміна знаку відбувається з мінуса на плюс (тобто при , і при ), і мінімуму, якщо зміна знаку похідної відбувається з мінуса на плюс (тобто при , і при ).

Якщо при переході через критичну точку зміни знаку похідної не відбувається, то ця критична точка не є точкою екстремуму.

Доведення. Припустимо для визначеності, що для деякого виконано:

при ,

при .

Тоді на інтервалі функція зростає, а на інтервалі спадає. Тоді справджується нерівність: . А це й означає, що – точка максимуму.

З наведених теорем випливає наступний алгоритм знаходження точок екстремуму функції.

1. Знайти критичні точки I роду.

2. Дослідити знак похідної при переході через ці точки. Якщо відбувається зміна знаку, і функція неперервна в критичній точці, то ця точка є точкою екстремуму. Якщо зміни знаку не відбувається, то в даній точці екстремуму нема.

Приклади. Знайти точки екстремуму і проміжки монотонності функції .

Знайдемо: .

Похідна дорівнює нулю при і не існує при . Отже критичні точки . Складемо таблицю.

	+		–	не існує

Тут символом показано проміжок зростання, а символом – проміжок спадання функції. Отже точка максимуму, а – точка мінімуму.

2. Знайти точки екстремуму і проміжки монотонності функції , .

Знайдемо:

.

Маємо дві критичні точки: (там ) і (там не існує). Складемо таблицю:

	–		+	не існує	–

Отже точка є точкою мінімуму, а точка точкою екстремуму не являється, оскільки в цій точці функція не є неперервною.

3. Знайти проміжки монотонності та точки екстремуму функції .

Знайдемо:

.

Маємо дві критичні точки: (там не існує) і (там ). Складемо таблицю:

	+	не існує	+		–

Отже точка є точкою максимуму, а точка не є точкою екстремуму, оскільки при переході через неї не відбувається зміни знаку похідної.

Теорема (друга достатня умова екстремуму). Нехай в точці функція має неперервні похідні 1–го і 2–го порядків, причому . Тоді в точці функція має екстремум. А саме максимум, якщо , і мінімум, якщо .

Доведення. Припустимо для визначеності, що . Тоді внаслідок неперервності існує такий окіл , у якому . Отже функція є зростаючою в цьому околі. А тоді при , і при , тобто похідна функції при переході через точку змінює свій знак з мінуса на плюс. І отже за попередньою теоремою в точці функція досягає мінімуму. Теорему доведено.

Приклад. Знайти точки екстремуму функції .

Знайдемо:

.

Дорівнюючи цей вираз до нуля, і, скорочуючи на , дістаємо:

, звідки . Отже єдина критична точка .

Далі знайдемо:

.

Підставляючи сюди точку , отримаємо:

, отже в точці наша функція досягає мінімуму.

Лекція 9.. Застосування диференціального числення