Леммы об окружностях.

Пусть в системе координат Оху задан вектор . С изменением j вектор поворачивается вокруг точки О. Продифференцируем последнее равенство: , т.е. . Мы доказали лемму 1:

j 1 Х Рис. 29

Производная единичного вектора по j равна исходному вектору, повёрнутому на угол против часовой стрелки.

Рассмотрим теперь окружность произвольного радиуса R. В качестве параметра будем использовать длину дуги, откладывая её от точки М 0. Тогда длина дуги М 0 М будет равна , откуда . Радиус-вектор точки М будет равен . Тогда ,

j М М 0 Рис. 30

Из геометрических соображений видно, что вектор направлен противоположно вектору и равен

.

Из формул и следует лемма 2: векторы и одинаковы по направлению и взаимно обратны по модулю, т.е. .

Замечание. Лемма остаётся справедливой и тогда, когда из произвольной точки А, не совпадающей с центром окружности О. В этом случае и по-прежнему , т.к. .

О М   Рис. 31