Методы Рунге-Кутты

Ответ на вопрос, какой из численных методов наиболее часто используется на практике при численном решении задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, пожалуй, будет следующий. Это методы Рунге-Кутты. Для справки, Рунге и Кутта – немецкие физики и математики, известность которым принесли предложенный ими в начале 20-го века способ получения одношаговых численных методов произвольного порядка точности. В итоге ими были предложены многоэтапные одношаговые численные алгоритмы третьего, четвертого и более высокого порядка точности.

Чем обусловлена популярность данных методов? Это простота, надежность и высокая эффективность при решении многих прикладных задач, за исключением случая так называемых жестких систем, о которых нам придется поговорить отдельно. Под эффективностью численных методов обычно понимают возможность получить приемлемую точность приближенного решения с минимальными вычислительными затратами.

Идея методов Рунге-Кутты может быть интерпретирована как использование квадратурных формул различного порядка точности для аппроксимации интеграла, выражающего точное решение дифференциальной задачи Коши на одном шаге:

. (19)

Приближенное решение находиться в виде

, (20)

где имеют вид

(21)

а коэффициенты , выбираются из соображений точности, например такие, чтобы при минимальном значении обеспечить максимальный порядок малости локальной ошибки (погрешности дискретизации). При достаточно больших M задачанахождения коэффициентов , обеспечивающих максимально возможный порядок точности схемы Рунге-Кутты, требует громоздких вычислений. Для простоты рассмотрим случай M=2, для которого подстановка (21) в (20) дает выражение

. (22)

Чтобы выразить погрешность дискретизации, вносимую разностным уравнением (22) при решении дифференциальной задачи (4), воспользуемся стандартным приемом. В выражение (22) подставим вместо точное решение дифференциальной задачи (4) . При этом полагаем, что решение дифференциальной задачи известно в точке , и может быть представлено конечным отрезком степенного ряда в -окрестности данной точки. Последнее требование означает непрерывную дифференцируемость и ограниченность производных решения до некоторого порядка, необходимого по ходу рассуждений. Потребуем также непрерывную дифференцируемость функции по всем ее аргумента в точке и -окрестности текущего узла.

Для осуществления подстановки точного решения в формулу Рунге-Кутты (22) используем следующие выражения:

, .

.

Здесь нижние индексы функции означают частные производные по соответствующим аргументам. Осуществляя непосредственную подстановку полученных представлений в формулу Рунге-Кутты (22), приходим к следующему равенству:

Полученное выражение, после приведения подобных и деления на , можно переписать в виде

(23)

Если бы решение дифференциальной задачи удовлетворяло формуле Рунге-Кутты точно, то очевидно, что выполненная нами подстановка данного решения в дискретное уравнение привела бы к тождеству. Однако, строгого тождества не получается. Тем не менее, несложно заметить, что проделанная нами подстановка точного решения в схему Рунге-Кутты показывает в определенном смысле эквивалентность данной схемы и некоторой новой дифференциальной задачи, которая получается из исходной задачи Коши добавлением в правую часть уравнения некоторых " возмущающих" членов. Данные возмущения связаны с переходом от дифференциальной задачи к дискретной модели. Напомним, что совокупность всех возмущений, обусловленных переходом от дифференциальной задачи к дискретной модели, принято называть погрешность аппроксимации (дискретизации) или невязка. Естественно ожидать, что величина данных возмущений будет определять отличие решений исходной и возмущенной задач. Следует подчеркнуть, что погрешность аппроксимации это еще не погрешность решения, а ее первопричина (основной источник).

Определим, при каких значениях коэффициентов достигается минимум локальной погрешности схемы Рунге-Кутты, как дискретной модели задачи Коши. Для этого потребует, чтобы

(24)

Заметим, что первое из уравнений (24) гарантирует равенство нулю первого возмущающего члена в выражении (23), а два последних – второго. Несложно показать, что при выполнении условий (24), последний возмущающий член в (23) при выполнении условий (24) никогда не равен нулю. Вместе с тем обратим внимание на то, что условия (24) не дают однозначного определения коэффициентов. Например, одно из решений (24) соответствует рассмотренному ранее методу предиктор-корректор

Второй набор коэффициентов

соответствует методу Эйлера-Коши.

Возможные решения системы уравнений (24) не исчерпываются приведенными двумя примерами. В рамках схемы (22) определяется однопараметрическое семейство методов Рунге-Кутты второго порядка аппроксимации, коэффициенты при этом выражаются зависимостью от некоторого свободного параметра:

Свободный параметр p может быть использован для того, чтобы минимизировать остаточный главный член в погрешности аппроксимации исходного уравнения. Это достаточно сложная задача, не имеющая какого-либо универсального решения, которое могло бы в какой то мере минимизировать погрешность приближенного решения в произвольном случая задачи Коши.

Для повышения эффективности метода, обычно используют формулы более высокого порядка аппроксимации. Наибольшую популярность получил метод Рунге-Кутты четвертого порядка

Основные понятия теории разностных схем.

Пусть решение дифференциального уравнения

, (1)

заданного в области , ограниченной контуром , .

Для решения уравнения (1) будем использовать метод сеток (метод разностных схем). Идея метода сеток применительно к уравнению (1) может быть представлена двумя этапами. Вначале необходимо область непрерывного изменения аргумента заменить дискретной областью его изменения или сеткой. Затем нужно заменить дифференциальный оператор некоторым разностным оператором, а также построить разностные аналоги для правой части, граничных и начальных условий. Полученная разностная задача или разностная схема вида

, (2)

представляет собой систему ЛАУ, которая должна быть исследована на сходимость и решена каким-либо численным методом. Таким образом, задача о численном решении линейного дифференциального уравнения сводится к нахождению решения системы ЛАУ.

Основными понятиями теории разностных схем являются аппроксимация, устойчивость и сходимость. Разностная схема – это дискретная модель дифференциальной задачи, полученная путем замены производных их дискретными аналогами. Для построения разностной схемы в области определения решения строится сетка (множество точек на отрезке или многомерной области в которых мы ищем приближенное дифференциальной задачи. Для рассмотрения вопросов сходимости используются понятия пространства сеточной функции (функции, заданной в узлах сетки) и понятие сеточной нормы (нормы пространства сеточных вункций.