Окружность, эквидистанта и орицикл

Эти три типа линий связаны с тремя типами пучков прямых.

1⁰ Окружность.

Как известно окружность это множество точек равноудаленных от данной фиксированной точки. Это понятие абсолютной геометрии, а потому имеет место и в г. Л. и значит, многие свойства окружности переносятся в геометрию Лобачевского (но не все). Нам потребуется утверждение: любая прямая, лежащая в плоскости окружности, пересекается с ней не боле чем в двух точках.

Рассмотрим пучок пересекающихся прямых с центром в центре окружности. Каждая из прямых пучка называются осью окружности. Можно доказать свойства.

Свойство 1. Окружность симметрична относительно любой своей оси.

Свойство 2. В каждой точке окружности $ касательная, которая ^ к оси, проходящей через точку касания.

Таким образом, окружность пересекает свои оси под прямым углом. Т.е. окружность есть ортогональная траектория пучка пересекающихся прямых.

Опр. 1. Пусть а, в - прямые. АÎ а и ВÎ в. Прямая АВ называется секущей равного наклона, если отрезки АВ составляет с этими прямыми равные внутренние односторонние углы.

Свойство 3. Прямая, содержащая хорду окружности, отличную от диаметра, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды (очевидно).

Свойство 4. Серединный перпендикуляр к любой хорде окружности является ее осью (очевидно).

Не все теоремы об окружности справедливы на плоскости Лобачевского. Например, вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, не является прямым: s_АВС=2Ð АСВ< 2dÞ Ð ACB< d

С пучком расходящихся прямых связана другая линия.

2⁰ Эквидистанта.

Опр. 1 Эквидистантой называется фигура, которая состоит из всех точек полуплоскости с границей u, равноудаленных от прямой u. Прямая u называется базой эквидистанты, а перпендикуляр, проведенный из любой точки эквидистанты на базу, высотой. Высотой будем называть так же длину этого ^. Осями эквидистанты называются прямые пучка расходящихся прямых перпендикулярных к базе.

Теорема 1. Любая прямая лежащая в плоскости эквидистанты, пересекается с эквидистантой не более чем в двух точках.

Доказательство. От противного. Пусть точки A, B, C эквидистанты лежат на одной прямой. A^/, B^/, C^/ - их проекции на базу. Тогда ABB^/A^/ и B^/BCC^/ - четырехугольники Саккери. Значит, углы ABB^/ и B^/BC острые. Противоречие.

Свойства:

1. Эквидистанта симметрична относительно любой своей оси.

Доказательство. Пусть МÎ g – произвольная. Пусть М₁ симметрично М относительно а. М^/ и М^/₁ проекции точек М и М₁ на u. М^/ и М^/₁- симметричны относительно а. Поэтому ММ^/= М₁М^/₁ Þ М₁Î g.

2. В каждой точке эквидистанты $ касательная, которая ^ к оси, проведенной через точку касания.

Доказательство. Пусть АÎ g, а ^ АА₁Þ а и u - расходятся, т.к. имеют общий ^, но расстояние от любой точки прямой а до u больше (по Тh3 §4), чем АА^/. Значит, А - единственная точка эквидистанты, принадлежащая прямой а. Пусть МÎ а. М₁М^/ = АА^/Þ если М₁®А, то ММ^/®АА^/Þ М₁М®0. И, значит, угол А^/АМ₁®А^/АМÞ секущая имеет предельное положение – прямую а. Значит а - касательная. Ч.т.д.

Т.е. эквидистанта это ортогональная траектория пучка расходящихся прямых.

Хордой эквидистанты назовем любой отрезок, соединяющий две точки эквидистанты.

Свойство 3. Любая прямая, содержащая хорду эквидистанты, является секущей ровного наклона к осям, проходящим через концы хорды. (Очевидно).

Свойство 4. Серединный ^ к любой хорде эквидистанты является ее осью (очевидно, применяя осевую симметрию и свойство 3)

3⁰ Орицикл.

Эта линия связана с пучком // прямых.

ЛЕММА: Через каждую точку одной из двух параллельных прямых проходит единственная секущая ровного наклона к этим прямым (доказательство на практике).

Пусть на плоскости задан пучок // прямых. На множестве всех точек W плоскости введем бинарное отношение D: АDВ если А совпадает с В или АВ - секущая ровного наклона к прямым пучка. Оно рефлексивно и симметрично. Можно доказать, что оно транзитивно.

Опр. 3 Каждый элемент фактор-множества W/D называется орициклом (предельной линией). Прямые пучка называются осями орицикла.

В силу свойств классов эквивалентности, если задан пучок // прямых, то через каждую т. А плоскости проходит единственный орицикл. Это множество состоит из т. А и всех таких точек Х, что АХ – секущая ровного наклона к прямым пучка, проходящим через А и Х.

С другой стороны, ясно, что если задана направленная прямая UV и т. А, то однозначно определяется орицикл, проходящий через А с осью UV. Свойства орицикла анологичны свойствам окружности и эквидистанты. Так же как и окружность и эквидистанта, орицикл не является прямой линией. Об этом гласит следующая теорема:

Теорема 2. Любая прямая, лежащая в плоскости орицикла, пересекается с орициклом не более чем в двух точках

Доказательство (от противного). Пусть A, B, C – лежат на одной прямой. АА^/, ВВ^/, СС^/- оси. Они // и, т.к. это направленные прямые, то А^/, В^/ и С^/ лежат в одной полуплоскости. Прямая АВС – секущая равного наклона. Т.к. // прямые не имеют общего ^, то углы 1, 2, 3, 4-не прямые. Д-жем, что они острые. Пусть Ð 2- тупой, сл-но Ð 3 - острый, Ð 1-тупой. Отложим Ð ВАМ^/ =Ð 3. Т.к. АА^///ВВ^/ Þ АМ^/ пересекает ВВ^/. это противоречие, т.к. Ð 3=Ð ВАМ и они соответственные, Þ Ð 2 и Ð 3 острые и не могут быть смежными. Ч.т.д.

Имеют место свойства 1⁰-4⁰ окружности и эквидистанты.

Орицикл есть ортогональная траектория пучка параллельных прямых.

Итак: Окружность, эквидистанта и орицикл это линии с очень похожими свойствами.