Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского

Сначала перечислим некоторые свойства // прямых:

Свойство 1. Если АВ//СD, то существует ось симметрии прямых АВ и СD.

Свойство 2. Если АВ//СD, то СD//АВ.

Свойство 3. Если АВ//ЕF, ЕF//СD и прямые АВ и СD не совпадают, то АВ//СD. (самостоятельно).

Доказательство свойства 1. h-биссектриса Ð QРВ, h -биссектриса Ð РQD. h пересекает QD в т. ЕÞ k пересекает h в т.S. SН₁=SН₂=SН₃Þ S равноудалена от АВ и СD. d – биссектриса Ð Н₁SН₂. S_d: АВ®СD.

Доказательство свойства 2 АВ//СD d-ось симметрий. РÎ АВ произвольная точка. При S_d: Р®QÎ СD. Достаточно доказать, что любой внутренний луч Ð РQD пересекает АВ. Пусть h^/-внутренний луч Ð РQD, h - симметричный ему луч Ð QРВ. Т.к.h пересекает, СDÞ h^/ пересекает АВ.

Опр. 1 Две ненаправленные прямые а и в будем называть параллельными, если на этих прямых можно выбрать направления так, чтобы они были параллельны в смысле Опр.1§2.

Опр. 2 Две прямые на плоскости Лобачевского называются расходящимся (или сверхпараллельными), если они не пересекаются и не параллельны.

Очевидно, что через каждую точку М, не лежащую на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, каждая из которых расходится с прямой а.

Вывод: На плоскости Лобачевского в отличие от Евклидовой плоскости имеются три случая взаимного расположения двух прямых: пересекаются, параллельны или расходятся.

В качестве примера свойства расходящихся прямых приведем следующее:

Теорема 1. Две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся.

Доказательство: Пусть АВ и СD данные прямые, а РQ их общий ^. АВ и СD не пересекаются. Значит либо расходится, либо //, но углы QРВ и QРА - углы параллельности, а они должны быть острыми. Значит АВ и СD - расходятся.

Следствие. На плоскости Лобачевского не существует общего перпендикуляра двух параллельных прямых.

Теорема 2. Две различные прямые на плоскости Лобачевского не могут иметь более, чем один общий перпендикуляр.

Доказательство: s_АА/В/В=4d, а должно быть< 4d.

Замечание. Позже мы докажем и теорему существования: любые две расходящиеся прямые имеют общий перпендикуляр.

Теорема 3. Пусть лучи РР^/ и QQ^/ лежат в одной полуплоскости с границей РQ, Ð РQQ^/ - прямой, а Ð QРР^/- прямой или тупой. Тогда если М переменная точка луча РР^/, а Н- проекция этой точки на прямую QQ^/, то функция МН=f(МР), является монотонной, неограниченно возрастающей функцией (без доказательства).

Обсудим ситуацию: что происходит с точками расходящихся прямых?

Пусть АВ и СD - расходящиеся прямые, по замечанию к Тh1, существует PQ - их общий ^, который является осью симметрии. Тогда по теореме 3, т. М удаляется от СD как в одном, так и в другом направлении. Т.е. расходящиеся прямые неограниченно «расходятся».

Пусть прямые АВ//СD и РQ^СD. Если М удаляется в сторону противоположную направлению параллельности, то расстояние от нее до CD неограниченно возрастает. А если М удаляется в сторону //, то это расстояние ®0. Т.е. они как бы сходятся (ясно, что асимптотически).

В связи только что изложенным фактом на плоскости Лобачевского можно рассмотреть три типа пучков.

1. Пучок пересекающихся прямых: множество всех прямых, проходящих через одну точку.

2. Пучок // прямых: множество, состоящие из направленной прямой и всех направленных прямых, параллельных ей.

3. Пучок расходящихся прямых: множество всех прямых плоскости перпендикулярных данной прямой (в «малом» они все себя ведут так, как мы нарисовали).