Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского

В этом § будут изложены некоторые факты, отличные от тех которые мы имеем в Евклидовой геометрии (сказать, что высоты не обязательно Ç в одной точке).

Теорема 1. Сумма углов любого треугольника меньше 2d (т.е. меньше двух прямых).

Доказательство. По Th1 Саккери - Лежандра s_АВС£ 2d, но если она =2d, то имеет место V постулат по Тh2 (противоречие) ч.т.д.

Следствие. Сумма углов треугольника непостоянна.

Пусть АВС - произвольный треугольник. DÎ стороне АС. s_АВС=s_АВД+s_BCD - 2d=АДС Þ s_ABC< s_ABD.

Следствие 2. Сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 4d.(очевидно).

Теорема 2. (четвертый признак равенства треугольников) Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство: Пусть в DАВС и DА^/В^/С^/ Ð А=Ð А^/, Ð В=Ð В^/, Ð С=Ð С^/. Достаточно доказать, что АВ=А^/В^/, а затем применить II признак равенства треугольников. Пусть АВ¹ А^/В^/, например, АВ> А^/В^/. На лучах АВ и АС возьмем т. В^// и С^//, так чтобы АВ^//=А^/В^/, АС^//=А^/С^/. DАВ^//С^/=DА^/В^/С^/Þ Ð В^//=Ð В^/=Ð В, Ð С^//=Ð С^/=Ð С. В^// лежит между А и В. Надо доказать, что С^// лежит между А и С, но Ð В=Ð В^//Þ прямая В^/С^// не пересекает ВСÞ по аксиоме Паша она пересекает АС, т.е. А-С^//-С. Четырехугольник В^//С^//СВ лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону Þ он выпуклый и его s_В//С//СВ=4d, что противоречит следствию2. Следовательно В^//совпадает с В.

Опр. 1 Двупрямоугольником называется выпуклый четырехугольник, у которого два угла, прилежащие к одной стороне, прямые.

Пусть ABCD – двупрямоугольник. Ð А и Ð В прямые. Тогда сторона АВ называется основанием, а AD и BC – боковыми сторонами.

Опр. 2 Двупрямоугольник с равными боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери.

Свойство 1. Если АВСD четырехугольник Саккери с основанием АВ, то Ð С=Ð D и оба они острые.

Доказательство. Рассмотрим симметрию с осью d. При этом S_d(АD)=BС (BD^/ = BC)Þ Ð D =Ð С< 2d.

Свойства 2. Если в двупрямоугольнике с основанием АВ, АD< ВС, то Ð С< Ð D. Легко.

Свойство 3. Если в двупрямоугольнике с основанием АВ, Ð С< Ð D, то АD< ВС. Самостоятельно.