Уважаемые первокурсники!

Утверждено на заседании кафедры АГи МОМ

Протокол № 6

От 17 декабря 2012

Зав. кафедрой д.ф.-м.н., проф. Михайлов П. Н.

Уважаемые первокурсники!

Вопросы, которых нет в лекциях, нужно изучить обзорно, т.е. нужно знать ТОЛЬКО основные определения и ТОЛЬКО формулировки основных теорем!!!!!

Вопросы к экзамену по геометрии для студентов 1 курса специальности МФ (1 семестр)

1. Направленные отрезки. Векторы: определение, коллинеарные векторы, одинаково и противоположно направленные векторы, нулевой, единичный, противоположный вектор, свободный, скользящий, связанный вектор.

2. Сложение и вычитание векторов: определения и свойства этих операций.

1. Умножение вектора на число: определение и свойства этой линейной операции.
2. Линейная зависимость векторов: теорема о коллинеарных векторах; определение компланарных векторов, теорема о компланарных векторах; определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов, свойства системы линейно зависимых векторов; две теоремы, раскрывающие геометрический смысл линейной зависимости векторов.
3. Координаты вектора: теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам и следствие из нее; определение трехмерного векторного пространства, определение базиса и размерности трехмерного векторного пространства; определение координат вектора; правила выполнения линейных операций над векторами, заданными координатами; длина вектора в ортонормированном базисе.
4. Скалярное произведение векторов: определение, свойства этой метрической операции, теорема о скалярном произведении векторов, заданных координатами и следствия из нее.
5. Определение векторных подпространств векторного трехмерного пространства; двумерное, одномерное и нулевое подпространства.
6. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат на плоскости.
7. Деление отрезка в данном отношении: определение; формула, выражающая координаты точки, делящий отрезок в данном отношении через соответствующие координаты конечных точек; формула для построения точки, делящей отрезок в данном отношении.
8. Ориентация плоскости: матрица перехода от одного базиса к другому и ее определитель, свойства определителей матрицы перехода; определение ориентации векторного пространства и ориентированной плоскости.
9. Угол между векторами на ориентированной плоскости: определение, теорема о координатах вектора в ортонормированном правом базисе и следствие из нее.
10. Формулы преобразования координат; два частных случая преобразования аффинной системы координат; преобразование прямоугольных систем координат.
11. Полярные координаты.
12. Метод координат на плоскости.
13. Алгебраическая линия. Окружность.
14. Уравнение прямой на плоскости.
15. Общее уравнение прямой на плоскости.
16. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
17. Расстояние от точки до прямой.
18. Угол между двумя прямыми на плоскости.
19. Основные задачи на прямую на плоскости.
20. Эллипс.
21. Гипербола.
22. Парабола.
23. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.
24. Мнимые точки плоскости. Общее уравнение линии второго порядка.
25. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления.
26. Центр линии второго порядка.
27. Касательная к линии второго порядка.
28. Диаметры линии второго порядка. Сопряженные направления.
29. Главные направления. Главные диаметры.
30. Классификация линий второго порядка.
31. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду и построение ее точек.
32. Координаты точек в пространстве. Решение простейших задач в координатах.
33. Ориентация пространства.
34. Формулы преобразования координат в пространстве.
35. Смешанное произведение векторов. Объем тетраэдра.
36. Векторное произведение векторов. Площадь треугольника.
37. Метод координат в пространстве. Уравнение поверхности.
38. Уравнение плоскости.
39. Общее уравнение плоскости.
40. Взаимное расположение двух и трёх плоскостей в пространстве. Примеры.
41. Расстояние от точки до плоскости.
42. Угол между двумя плоскостями. Примеры
43. Уравнения прямой в пространстве. Примеры.
44. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Примеры.
45. Углы между двумя прямыми, между прямой и плоскостью.
46. Основные задачи на прямую и плоскость.
47. Поверхности второго порядка. Метод сечений.
48. Поверхности вращения.
49. Цилиндрические поверхности.
50. Конические поверхности второго порядка. Конические сечения.
51. Эллипсоид.
52. Гиперболоиды.
53. Параболоиды.
54. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
55. Квадрики в евклидовом пространстве: теорема о существовании в евклидовом векторном пространстве ортонормированного базиса, канонические уравнения квадрик в многомерном пространстве, 17 канонических уравнений квадрик в трехмерном евклидовом пространстве.
56. Приведение уравнения квадрики к нормальному виду в аффинном многомерном пространстве. Понятие о классификации квадрик в аффинном многомерном пространстве.
57. Квадрики в аффинном пространстве: определение, ранг квадрики, теорема о центре квадрики, цилиндрические и конические квадрики.
58. Закон инерции вещественных квадратичных форм, определенных на векторном многомерном пространстве и следствия из него. Положительно-определенная квадратичная форма: определение, признак положительной определенности квадратичной формы и следствие из него.
59. Квадратичная форма на векторном многомерном пространстве: определение, матрица квадратичной формы, ранг матрицы; канонический и нормальный вид квадратичной формы.
60. Евклидово многомерное пространство: определение; формула расстояния между точками, заданными координатами; две теоремы об основных свойствах расстояний в евклидовом многомерном пространстве.
61. Гиперплоскости аффинного многомерного пространства: определение, координатные гиперплоскости, взаимное расположение двух гиперплоскостей.
62. Многомерные плоскости: определение; общее, параметрическое уравнения многомерной плоскости; определение линейно независимых точек аффинного многомерного пространства; теорема (и следствие) о многомерной плоскости, проходящей через линейно независимые точки.
63. Аффинное многомерное пространство: определение; следствия из аксиом многомерного аффинного пространства; определение радиус-вектора точки; аффинная система координат; определение координат точки; формулы преобразования аффинной системы координат.
64. Евклидово векторное многомерное пространство: определение билинейной формы, матрица билинейной формы, симметрическая билинейная форма, положительно-определенная билинейная форма; теорема о базисе многомерного подпространства и следствие из нее; определение евклидова векторного пространства.
65. Векторное многомерное пространство: определение и следствия из аксиом векторного пространства; определение размерности и базиса пространства; теоремы о разложении вектора по базису и о максимальном числе линейно независимых векторов системы; определение многомерного подпространства и способ задания многомерного подпространства.
66. Задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
67. Взаимное расположение двух окружностей. Построение треугольника по трем сторонам.
68. Основные построения. Схема решения задач на построение.
69. Решение задач на построение методом пересечений.
70. Применение движений к решению задач на построение.
71. Метод подобия.
72. Инверсия. Метод инверсии.
73. Алгебраический метод.
74. Признак разрешимости задач на построение циркулем и линейкой.
75. Примеры задач на построение, неразрешимых циркулем и линейкой.