Розв'язання. Складаємо функцію Лагранжа

Ф(х, у, z) = хуz + λ ₁(х + у – z - 3) + λ ₂(х - у - z - 8) і випишемо систему рівнянь для визначення параметрів λ ₁, λ ₂ і координат можливих точок екстремуму:

Pозв'язуючи цю систему, одержимо

λ ₁ = 11/32, λ ₂ = -231/32, х = 11/4, у = -5/2, z= -11/4.

Другий диференціал функції Ф(х, у, z) має вигляд:

Маємо d²Ф = 2zdхdу + 2уdхdz + 2хdуdz.

Bикористовуючи рівняння зв'язку, отримаємо, що

Підставляючи в d² Ф, одержимо В(dx) = 2уdх²

В стаціонарній точці В =-5dx²< 0 то в точці (11/4, -5/2, -11/4) маємо max, що дорівнює f _mах ⁼ 605/32.

Приклад 3. Знайти екстремум функції z = соs ²х + соs² у при умові

y-x = π /4.

Розв'язання. Складаємо функцію Лагранжа:

Ф(х, y, λ) ⁼ cos² х + соs²у + λ ( у - х - π /4)
i виписуємо систему рівнянь для визначення параметра λ і координат можливих точок екстремуму

або , тобто

2sin(x+y)cos(y-x) =0, але cos(y-x)= , то sin(x+y)=0

k=0, .

x= k ; у= k π /2+ π / 8; k=0, .

Знаходимо другі похідні функції Ф(х, у):

В точках Р_k(kπ /2 - π /8, kπ /2 + π /8) маємо

Ф" _xx ·Ф''_yy - (Ф" _xy)² = 4соs(kπ - )соs(kπ + )= 2соs2 kπ = 2 > 0.

Значить в точках Р_k є умовний екстремум. Далі, при k = 2n

< 0, а тому в точках Р_2n - умовний mах: z_mах = 1 + , при k= 2n + 1 будемо мати > 0, то в точках P_2n+1 - умовний min: z_min=1- .

Задачі. Знайти умовний екстремум:

1. f=ху, при х² + у².

B. f_min= т. в т.

2. f = хуг, при умовах х + у + z = 5, ху + уz + zх = 8.

В. f _min = 4в т (2, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2); f_max = 4 в т

3. f= е^ху, при х + у = а. В. f _mах = .

4. f = 6-4х-Зу, при х² + у²=1.В. f_min = 1 в т ; f_max=11в т.

5. f = x-2у-2z, прих² + у² + z ² = 9. В.. f_min = -9 в т. (-1, 2, -2); f_max =9 в т. (1, -2, 2).

6. f =sinxsinysinz, при х + у + z = π /2, х > 0, у > 0, z > 0. В. f_max = в т.

7. Знайти відстань між параболою у = х² і прямою х - у = 5. В. .