Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Варіація функціоналу.






Нехай функціонал J[у(х)] заданий на множині Е функцій у(х) приростом функціоналу J[у(х)], що відповідає приросту δ у(х) аргументу, називається величина

∆ J= ∆ J [у(х)] = J[у(х) + δ у(х)] -J[у(х)].

Означення. Якщо приріст функціоналу

J[y(х) + δ у(х)] - J[у(х)]

Можна представити у вигляді:

∆ J = L[у(х), δ у] + β (у(х)> δ у)||δ у||,

де L[у(х), δ у] - лінійний по відношенню δ у функціонал і β (у(х), δ у) → 0 при

|δ у ‌ ‌ | → 0, то лінійна по відношенню до δ у частина приросту функціоналу (Lу(х), δ у]) називається варіацією функціоналу: δ J = L[у(х), δ у(х)], а функціонал Lу(х)] називається диференційований в точці у(х).

Приклад 1. Знайти приріст функціоналу

J[у(х)]= у{х) у'(х)dх,

визначеного на просторі С(1) [а, Ь], якщо у0(х) = х, а у1(х) = х2.

 

 

Розв’язання

Маємо

J[у(х)] = J[х2] - J[х] = х2 2хdх - х1dх = (2х3 - х)dх = =0.

Приклад 2. Знайти приріст ∆ J і варіацію δ J функціоналу

J [ y (x) ]=

Розв’язання. Знайдемо приріст функціоналу

∆ J = + δ у)2 - у2 = 2уδ уdх + δ 2уdх.

 

Отже, ∆ J= 2 уδ уdх + δ 2уdх.

Лінійний функціонал 2уδ уdх по означенню і буде варіацією

функціоналу δ J = 2 уδ уdх, бо δ 2уdх = 0.

Приклад 3. Показати, що функціонал

J[y(x)] = у2{х)dх, визначений на просторі С, b], диференційований в кожній

точці у(х).

Розв’язання. Маємо ∆ J= (у(х) + δ у(х))2 - у2 {х)dх =

= 2у{х)δ у(х)dх + (δ у(х))2 dх.

Перший інтеграл справа при кожній фіксованій функції у(х) є лінійним

відносно δ у(х) функціоналом. Оцінимо другий інтеграл:

(δ у(х))2 = | δ у(х) |2 dх ≤ | δ у{х) | = | δ у{х) | dх = (b-а)

|| δ у(х) ||2 = ((b-а)||δ у(х)||)||δ у(х)||.

При ||δ у|| → 0 величина (b- а) ||δ у||→ 0.

Отже, ∆ J = L(у, δ у) + α (|| δ у ||), де L(у, δ у) - лінійна частина приросту,

α (||δ у ||)→ 0 при || δ y||→ 0. Отже,

δ J = 2 у(х)δ у(х)dx.

Зауважимо, що варіація функціонала визначається за формулою:

δ J= J(y+α δ y)‌

Справді: f (х + α ∆ х)|α =0 = f'(х + α ∆ х)∆ х\α =0 = f'(х)∆ х = df(х) (диференціал

функції відповідає варіації функціонала).

Має місце також формула:

J= (F'у - F'у,) уdх або J (х)]= (F'у у+F'у , у')dх (*).

Задачі.

Знайти варіації функціоналів трьома способами:

 

1. J[у(х)] = F{х, у)dх В. J= F' .

2. J[у(х)] = у4(х)dx, В. J= =4 y3 ydx.

3. J[у(х)] = 3 -Зх4 у)dх В. J = (3y2 -3х4) ydx.

4. J[у(х)] = y(y+x)dx В. J = (2 у - х) y dх.

5. J[у(х)] = (ху + у2-2у2-у')dх

В. J = ((х + 2у – 4yу') у - 3 у')dх.

6. J[у(х)] = В. J =

7. J[у(х)] = х2 у' 2 В. J = 2у у'dх.

8. J[у(х)] = (2ху - у'2 )dх В. J = (2х у - 2у' у')dх.

9. J[у(х)] = 2 у' 22)dх. Знайти ∆ J і δ J.

10. J[у(х)] = у' 2 sinxdx. Знайти ∆ J і δ J.

11. J[у(х)] = (y'y + ху' 2)dх. Знайти ∆ J і δ J.

12. J[у(х)] = (у'еy + ху2)dх. Знайти ∆ J і δ J

Приклад 4. Знайти варіацію функціоналу:

J[у(х)] = (у'еy + ху2)dх.

Розв'язання: Функція F(х, у, у') = у'еу + ху2 - неперервна по всіх змінних

х, у і у', має частинні похідні всіх порядків по у і у', обмежені в будь якій обмеженій області зміни змінних у і у'. Тому даний функціонал

диференційований на С[1, -1] і його варіація дорівнює (згідно формули (*))

((у'еу + 2ху) у + еу у')dx.

Приклад 5. Обчислити варіацію функціонала

J[у(х)] =

Розв'язання: Ми вже знайшли, що δ J = 2 у(х) δ у(х)dх.

Знайдемо варіацію по формулі δ J= J(y(x)+α δ y)‌ .

J[y(х)] + α δ y(х)] = (у{х) + α δ y (х))2dх. Тоді J(y+α δ y)‌ = 2 (у + α δ y )δ уdx

Значить, δ J= J(y+α δ y)‌ = 2 уδ уdx

Задачі. Знайти варіації функціоналів трьома способами.

13. J[у(х)] = + у)dх В. уdх.

14. J[у(х)] = (у2 - y' 2 )dх В. 2 (уδ у - у' у')dх.

15. J[у(х)] = (xy+ y' 2)dх В. (хδ у + 2у' у')dх.

16. J[у(х)] = у'sin ydx В. (у'соsу у + sin уδ у')dх.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.