Курсовая работа. По специальным главам информатики

по специальным главам информатики

Методы решения дифференциальных уравнений

Автор курсовой работы 17.01.2012 Беляева И.В.

Обозначение работы КР-02069964-210700-02-12

Руководитель работы

Преподаватель 17.01.2012 Маняев И.В.

Оценка:

Саранск 2012

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н. П. ОГАРЁВА»

Факультет электронной техники

Кафедра: Сети Связи и Системы Коммутаций

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ (ПРОЕКТ)

Студент Беляев И.В.

1.Тема: Методы решения дифференциальных уравнений

2.Срок предоставления курсовой работы(проекта) к защите 17.01.2012

3.Содержание курсовой работы(проекта)

3.1.Введение

3.2.Практическая часть

3.3.Заключение

Руководитель курсовой работы (проекта) 17.01.2012 г., И.В. Маняев

подпись, дата, инициалы, фамилия

Задание принял к исполнению _______________________________

дата, подпись

Задание на курсовую работу

1. Решить дифференциальное уравнение dy/dx=2*(x^2+y), y(0)=1 на отрезке [0; 1] с шагом h=0.1 методом Эйлера

2. Найти интерполяционный полином 2 степени методом Лагранжа.

3. Провести оптимизацию полученного полинома на отрезке [0; 1] по методу Дихотомии.

4. Найти значения определенного интеграла методом Симпсона.

5. Построить графики решения дифференциального уравнения, интерполяционной функции.

6. Составить блок-схемы алгоритмов и программы для приведенных решений на языке программирования высокого уровня.

Содержание.

Введение ………………………………………………………..………..….5

1 Теоритическая часть …………………………….…………..………....7

1.1 Решение ОДУ: метод Эйлера…….....………………..….……………...7

1.2 Аппроксимция: метод Лагранжа………………………….........…..…...7

1.3Оптимизация: метод дихотомии………………..…..……....…………..8

1.4 Интегрирование: метод Симпсона………………………………….......8

2 Расчётная часть ……………………………..……………………….…....9

Заключение …………………..…….……..…………………………..…....19

Список литературы ………………………………….…………………......20

ВВЕДЕНИЕ

ЭВМ играют важную роль в жизни человека. С их помощью люди достигли удивительных успехов в науке и техники. Вычислительные машины способны совершать миллионы вычислений в секунду, которые человек не в силах сделать.

Важной особенностью ЭВМ является её программируемость. Это позволяет задавать вычислительной машине различные задачи для их решения с помощью языка программирования.

Язык программирования – формальная знаковая система, предназначенная для записи компьютерных программ. Функция языка программирования заключается в следующем: язык программирования предназначен для написания компьютерных программ, которые применяются для передачи компьютеру инструкций для выполнения того или иного вычислительного процесса и организации отдельными устройствами. Реализация языка программирования может происходить путём компилирования и интерпретирования. Различие заключается в том, что компилятор-это особая программа, которая компилирует т.е. преобразует язык в машинный код - двоичный код. Интерпретатор-это программа, которая выполняет исходный текст без предварительного перевода.

Языки программирования делятся на 2 вида: Язык высокого и низкого уровней программирования.

Язык высокого уровня программирования разработан с целью экономия времени и удобства для программиста, использующего этот язык. Он не зависит от кодов самой ЭВМ, поэтому программы, которые написаны на этом языке, требуют перевода в машинные коды. К языкам высокого уровня относят BASIC, PASCAL, C++ и т.д.

Язык низкого уровня программирования отражает внутренний код ЭВМ и предназначен для определенного типа ЭВМ. К языкам низкого уровня относят Java, Microsoft.NET и т.д.

Одним из известных языков высокого уровня программирования является PASCAL, который был назван в честь выдающегося французского математика, литератора, философа Блеза Паскаля. Именно Блезом Паскалем была создана первая в мире механическая машина, складывающая два числа. Сам же язык программирования был создан Никлаусом Виртом в 1968-1969 гг. Позже, в 1970 году Вирт опубликовал язык как небольшой и эффективный язык, способствовавший хорошему стилю программирования, использующий структурное программирование и структурированные данные. PASCAL широко применялся в промышленности и в учебных заведениях.

Языки высокого уровня программирования актуальны в научных, общественных, технических сферах. Именно язык высокого уровня-PASCAL используется в данной работе для решения поставленных задач.

Цель исследования – численные решения с помощью ЭВМ

Задачи исследования:

1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера.

2. Найти интерполяционный полином 2 степени методом Лагранжа.

3. Провести оптимизацию полученного полинома методом Дихотомии.

4. Найти значения определенного интеграла методом Симпсона.

5. Составить блок-схемы алгоритмов и программы для приведенных решений на языке высокого уровня программирования.

Объект исследования – информатика специальные главы.

Предмет исследования - дифференциальное уравнение.

1.Методы решение дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение-уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке.

Наиболее простым численным методом решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера, который был описан в 1768 году в работе «Интегральные исчисления». Из-за своей простоты метод Эйлера находит своё применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

y_i=y_i-1+h*f(x_i-1; y_i-1)

где h-шаг.

1.1 Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами. Интерполяционная формула Лагранжа обеспечивает построение алгебраического многочлена P_n (x) для произвольно заданных узлов интерполирования. Для n + 1 различных значений аргумента x ₀, x ₁,..., x_n и соответствующих значений функции f (x ₀) = y ₀, f (x ₁) = y ₁,..., f (x_n) = y_n

1.2 Оптимизация полинома методом Дихотомии.

Если непрерывная функция на концах некоторого интервала имеет значения разных знаков, то внутри этого интервала у неё есть корень, как минимум один. Именно на базе этой теоремы и построено численное нахождение приближенного значения корня функции. Обобщенно этот метод называется дихотомией т.е. делением отрезка на 2 части. Алгоритм выглядит так:

•Задать начальный интервал.

• Убедиться, что на концах функция имеет знак.

• Повторять.▫

▫ Выбрать внутри интервала точку X.

▫ Сравнивать знак функции в точке Х со знаком функции в одном из концов.

▫ Если совпадает, то переместить этот конец интервала в точку Х.

▫ Иначе переместить в точку Х другой конец интервала.

Повторять до тех пор, пока не будет достигнута нужная точность.

1.3 Интегрирование методом Симпсона.

Метод Симпсона, названый в честь британского математика Томаса Симпсона, относится к приемам численного интегрирования, суть которого заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке [a, b] интерполяционным полиномом второй степени.

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке [ a, b ]

2.Практическая часть.

uses crt;

var xi, y: real; klava: integer;

const h=0.1; //шаг

a=0; //начальное значение отрезка

b=1; //конечное значение отрезка

n=2; //степень полинома

//1

function fak(x, y: real): real;

begin

fak: =2*(sqr(x)+y); //исходное диф. уравнение

end;

function ailer(xi: real): real;

var x, y, r, pt: array[1..20] of real; i, j, k, m: integer;

begin

writeln ('Таблица значений: ');

x[1]: =a;

y[1]: =1;

k: =1;

repeat

writeln('x', k, '=', x[k]: 0: 3, ' y', k, '=', y[k]: 0: 3);

inc(k);

y[k]: =y[k-1]+h*fak(x[k-1], y[k-1]);

x[k]: =x[k-1]+h;

until not (x[k]< b);

end;

//2

function lagrang(xi: real): real;

var x, y, r, pt: array[1..20] of real; ct, u: real; i, j, k, m: integer;

begin

x[1]: =a;

y[1]: =1;

k: =1;

repeat

inc(k);

y[k]: =y[k-1]+h*fak(x[k-1], y[k-1]);

x[k]: =x[k-1]+h;

until not (x[k]< b);

for i: =1 to n+1 do

r[i]: =0;

for i: =1 to n+1 do

begin

ct: =1; pt[1]: =1; k: =1;

for j: =1 to n+1 do

if i< > j then

begin

ct: =ct*(x[i]-x[j]);

pt[k+1]: =1;

if k> 1 then

for m: =k downto 2 do

pt[m]: =pt[m-1]-pt[m]*x[j];

pt[1]: =-pt[1]*x[j];

k: =k+1;

end;

u: =y[i]/ct;

for m: =1 to n+1 do

r[m]: =r[m]+pt[m]*u;

end;

writeln(' Интерполяционный полином Лагранжа ', n, ' -ой степени: ');

writeln('Q(x)=', r[1]: 0: 2, '+', r[2]: 0: 2, 'x+', r[3]: 0: 1, 'x^2');

end;

//3

function q(x: real): real;

begin

q: =1+1.79*x+2.1*sqr(x); //полученный полином Лагранжа 2-й степени

end;

function dixotomiya(xi: real): real;

const eps=0.1; // точность метода дихотомии

var

x, a, b, t, d, c, g: real;

k: Integer;

begin

writeln ('Оптимизация полинома');

a: =0; b: =1;

t: =0; d: =1;

repeat

c: = (a + b) / 2;

if (q(a) * q(c)) < 0 then b: = c

else a: = c;

inc(k)

until (b - a) < = eps;

x: = (a + b) / 2;

writeLn('корень(максимум) x=', x: 5: 5);

repeat

g: = (t + d) / 2;

if (q(a) * q(b)) < 0 then d: = g

else d: = g;

inc(k)

until (d - t) < = eps;

x: = (t +d)/2;

writeLn('корень (минимум) x=', x: 5: 5);

readln;

end;

//4

function integral(xi: real): real;

var h, x: real;

n, i: integer;

integ: real;

begin

write('Введите количество разбиений интервала(четное число) n='); readln(n);

if (n mod 2)> 0 then { mod-остаток от деления n на 2 с остатком}

begin

n: =n+1;

writeln('число n было нечетно, она заменено на n=', n);

end;

h: =(b-a)/n;

integ: =q(a)+q(b)+4*q(a+h);

for i: =1 to (n div 2)-1 do {частное деление n на 2 с остатком}

begin

x: =a+2*h*i;

integ: =integ+2*q(x)+4*q(x+h);

end;

integ: =h*integ/3;

writeln('Интеграл равен ', integ: 3: 3);

end;

begin

writeln ('Введите номер задания: ');

writeln('1)Решить диф.уравнения dy/dx=2*(x^2+y), y(0)=1 на отрезке [0; 1] методом Эйлера; ');

writeln('2)Найти интерполяционный полином Лагранжа 2-ой степени; ');

writeln('3)Провести оптимизацию полученного полинома методом дихотомии; ');

writeln('4)Найти определенный интеграл методом Симпсона.');

readln(klava);

case klava of

1: writeln(ailer(xi));

2: writeln(lagrang(xi));

3: writeln(dixotomiya(xi));

4: writeln(integral(xi));

end; end.

Рисунок 1-полученные значения

2.Составим Блок-схему алгоритма программы

Рисунок 2-Блок-схема алгоритма

Заключение

Освоение методов решения дифференциальных уравнений, в ходе выполнения курсовой работы, позволяет проводить различные вычислительные операции, которые упрощают вычисления.

Метод Эйлера позволяет вычислить дифференциальное уравнение за короткое время. Легок в работе и освоении.

Интерполяция методом Лагранжа проста в освоении, но сложна в вычислении.

Метод дихотомии очень прост в освоение, но из-за повышении точность повышается и число итераций.

Формула Симпсона проста в использовании, и при том условии, что четвертая производная не слишком велика, дает высокую точность.

Данные методы были реализованы на языке высокого уровня программирования PASCAL и показали свою эффективность в вычислениях.

Список литературы:

1. Абрамов В.Г., Трифонова Г.Н. Введение в язык Паскаль. – М.: Наука, 1988.

2. Задачи по программированию / С. А. Абрамов, Г. Г. Гнездилова, Е. Н. Капустина, М. И. Селюн. – М.: Наука, 1988.

3. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е. К. Информатика: учеб. Пособие для студ. пед. Вузов / под ред. Е.К. Хеннера. – М.: Изд. Центр «Академия», 1999.

4. Касаткин В. Н. Информация. Алгоритмы. ЭВМ – М.: Просвещение, 1991.

5. https:// ru.wikipedia.org