Математическая модель. Пусть центральная силовая линия является прямой

Пусть центральная силовая линия является прямой. Расстояние от электрода до точки на силовой линии, в которой выполняется условие Е = Е , обозначим x .

В промежутке с известной конфигурацией электрического поля распределение напряженности вдоль центральной силовой линии является функцией разности потенциалов между электродами U и расстояния от одного из электродов x, например, от электрода, напряженность на поверхности которого максимальна:

E= (U, x) (1.7)

Тогда (1.6) может быть переписана в виде:

= f(U, x, . (1.8)

Тогда (1.5) можно записать для воздуха в общем виде при начальном напряжении U :

, x, ) dx 8.2. (1.9)

Однако (1.9) относительно U в явном виде не разрешимо. Поэтому для его решения необходимо применить численный метод. Он состоит в том, что вычисляют при разных значениях U интеграл (1.9). Значение U, при котором интеграл равен 8.2, принимается равным начальному напряжению.

Для расчета значений функции f(U, x, ) необходимо знать распределение напряженности по центральной силовой линии. Для моделирования электрического поля воспользуемся методом последовательных изображений в сфере.

Предварительно рассмотрим простой пример: электрическое поле образовано точечным зарядом q и расположенным вблизи него сферическим электродом, потенциал которого равен нулю (рис.1.1).

Рис.1.1

Метод изображений в сфере состоит следующем. Поле вне ее может быть представлено как сумма полей двух точечных зарядов. Первый из этих зарядов q , второй q расположен внутри сферы. Чтобы определить положение и величину заряда q , примем, что он расположен на линии DO, сoединяющей заряд q с центром сферы. Это предположение следует из очевидной симметрии поля относительно линии DO. Также логично, что заряд расположен в правой (ближайшей к q ) половине сферы.

Составим уравнения относительно потенциала в каких-либо двух точках поверхности сферы. Самое простое – для точек A и B. Для расположения зарядов, приведенных на рис.1.1, при заземленной сфере получим:

+ = 0

(1.10)

= + = 0

Решая уравнения совместно относительно q и b, получаем:

q = - q ; b = (1.11)

Так как потенциал от зарядов q и q во всех точках поверхности сферы равен нулю, соблюдаются граничные условия - эквипотенциальность поверхности сферы при =0. Следовательно, поле точечного заряда q и заземленной сферы совпадает с полем двух точечных зарядов: q и его изображения q , расположенного внутри сферы.

Расчет поля между двумя металлическими сферами производится следующим образом. Пусть одна сфера находится под потенциалом =U, вторая заземлена =0. Радиусы сфер равны r =r =r. Расстояние между сферами равно S. (рис.1.2)