Евклидово пространство

Линейное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется евклидовым пространством.

В скалярное произведение в евклидовом пространстве E позволяет ввести в нем метрические соотношения, характерные для геометрического пространства .

Величина

называется модулем или длиной вектора х в евклидовом пространстве. Очевидно, что , причем .

Если , то вектор х называется нормированным или единичным вектором. При этом всякий ненулевой вектор х можно нормировать – поставить ему в соответствие единичный вектор

В пространстве справедливо неравенство Коши-Буняковского

, (2.23.1)

которое основано на известном неравенстве .

Покажем, что это неравенство остается справедливым для произвольного евклидова пространства.

Рассмотрим скалярный квадрат

Вычислим дискриминант

Таким образом

,

или окончательно

,

что и требовалось доказать.

В пространстве неравенство Коши-Буняковского принимает вид

. (2.23.2)

Здесь , .

В пространстве неравенство Коши-Буняковского принимает вид

. (2.23.3)

Здесь .

Неравенство Коши-Буняковского позволяет ввести понятие угла между векторами в абстрактном евклидовом пространстве

. (2.23.4)

При этом будет выполнятся обычное неравенство – .

Векторы х и у называются ортогональными тогда и только тогда, когда .

Теорема 1. Нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Доказательство:

.

Теорема 2. Взаимно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы.

Доказательство:

Рассмотрим систему взаимно ортогональных векторов – .

Умножим соотношение

скалярно на вектор

.

В силу взаимной ортогональности от этого произведения останется только скалярный квадрат

.

Таким образом, все коэффициенты и система векторов – линейно независима. Что и требовалось доказать.

Доказанное свойство означает, что в пространстве всякая система из п ортогональных векторов образует базис.

Теорема 3. (Теорема Пифагора). Если векторы х и у ортогональны, то .

Доказательство:

По условию теоремы имеем – . Вычислим

.

Что и требовалось доказать.

Теорема 4. В евклидовом пространстве справедливы неравенства треугольника

,

.

Доказательство:

Возведем в квадрат левую часть первого неравенства

или

Извлекая квадратный корень, получим первое неравенство треугольника. Что и требовалось доказать.

Второе неравенство треугольника доказать самостоятельно.

В п - мерном евклидовом пространстве можно ввести так называемый ортонормированный базис –

где – символ Кронекера.

Координаты вектора

в ортонормированном базисе называются коэффициентами Фурье и выражаются с помощью скалярного произведения

Таким образом

. (2.23.5)

В ортонормированном базисе скалярное произведение записывается обычным образом

. (2.23.6)

Для не ортонормированного базиса формула вычисления скалярного произведения (2.22.6) может существенно усложниться.