Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Определения.






1. Символ вида a + bi, где a и b произвольные действительные числа, условимся называть комплексным числом.

2. Комплексные числа a + bi и a1 + b1i условимся считать равными, если а = а1 и

b = b1.

3. Комплексное число вида a + 0i условимся считать равным действительному числу а.

4. Суммой двух комплексных чисел a + bi и a1 + b1i называется комплексное число (а + а1) + (b + b1)i.

5. Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число aa1 – bb1 + (a b1 +a1b)i.

Комплексное число вида 0 + bi называется чисто мнимым числом и обычно записывается так: bi; число 0 +1 i = i называется мнимой единицей.

В силу определения 3 всякому действительному числу а соответствует «равное» комплексное число a + 0i и обратно – всякому комплексному числу a + 0i соответствует «равное» действительное число а, то есть между этими числами существует взаимно-однозначное соответствие. Если рассмотреть сумму и произведение комплексных чисел a1 + 0i и a2 + 0i по правилам 4 и 5, то получим:

(a1 + 0i) + (a2 + 0i) = (a1 + a2) + 0i,

(a1 + 0i) (a2 + 0i) = (a1 a2 – 0) + (a10+a20) i = a1a2 + 0i.

Мы видим, что сумме (или произведению) данных комплексных чисел соответствует действительное число, «равное» сумме (или произведению) соответствующих действительных чисел. Итак, соответствие между комплексными числами вида a + 0i и действительным числом а таково, что в результате выполнения арифметических действий над соответствующими компонентами получаются соответственные результаты. Взаимно-однозначное соответствие, которое сохраняется при выполнении действий, называется изоморфизмом. Это позволяет отождествить число a + 0i с действительным числом а и рассматривать всякое действительное число как частный случай комплексного.

Следствие. Квадрат числа i равен – 1.

i 2 = i i = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0·1 + 1·0)i = - 1.

Теорема. Для сложения и умножения комплексных чисел остаются в силе основные законы действий.

Определения:

1. Действительное число а называется действительной частью комплексного числа z = a + bi. Rez=a

2. Число b называется мнимой частью комплексного числа z, число b - коэффициентом при мнимой части z. Imz=b.

3. Числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными.

Число, сопряжённое числу z = a + bi обозначается символом

= a - bi.

Пример. z =3 + i, = 3 - i.

Теорема. Сумма и произведение двух сопряжённых комплексных чисел действительны.

Доказательство. Имеем

.

В множестве комплексных чисел выполнимы действия, обратные сложению и умножению.

Вычитание. Пусть z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i - данные комплексные числа. разность z1z2 есть число z = x + y i, удовлетворяющее условию z1 = z2 + z или

а1 + b1i = (a2 + x) + (b2 + y)i.

Для определения x и y получаем систему уравнений a2 + x = а1 и b2 + y = b1, имеющую единственное решение:

x = а1 - a2, y = b1 - b2,

откуда

z = (а1 + b1i) – (а2 + b2i) = а1 – а2 +(b1 - b2)i.

Вычитание можно заменить сложением с числом, противоположным вычитаемому:

z = (а1 + b1i) – (а2 + b2i) = (а1 + b1i) + (- а2 - b2i).

Деление. Частное чисел z1 и z2 ≠ 0 есть число z = x + y i, удовлетворяющее условию z1 = z2z или

а1 + b1i = (a2 + b2i) (x + yi),

следовательно,

а1 + b1i = a2 x - b2y+ (b2x + a2y)i,

откуда получаем систему уравнений:

a2 x - b2y = a1,

b2x + a2y = b1.

Решением которой будут

,

следовательно,

Практически для нахождения частного умножают делимое и делитель на число , сопряжённое делителю:

Так, например,

В частности число , обратное данному числу z, можно представить в виде

.

Примечание. В множестве комплексных чисел остаётся в силе теорема: еслипроизведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю.

В самом деле, если z1z2 =0 и если z1 0, то умножая на , получим

что и требовалось доказать.

При выполнении арифметических действий над комплексными числами надлежит руководствоваться следующим общим правилом: действия выполняются по обычным правилам действий над алгебраическими выражениями с последующей заменой i2 на -1.

Теорема. При замене каждого из компонентов сопряжённым ему числом результат действия тоже заменяется сопряжённым числом.

Доказательство заключается в непосредственной проверке. Так, например, если каждое слагаемое z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i заменить сопряжённым числом, то получим число, сопряжённое сумме z1 + z2.

cледовательно,

.

Аналогично для произведения имеем:

.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.