Примеры практического применения метода наименьших квадратов

1. В «Основах химии» Д.И. Менделеева приводяться данные о растворимости азотно-кислого натрия NaNo₃ в зависимости от температуры воды. В 100 частях воды растворяется следующее число условных частей NaNO₃ при соответствующих температурах:

0º 4º 10º 15º 21º 29º 36º 51º 68º

66, 7 71, 0 76, 3 80, 6 85, 7 92, 9 99, 4 113, 6 125, 1 (4)

Теоретические соображения позволяют думать, что количественная сторона этого явления довольно точно описывается линейной зависимостью

y=a + bx,

где x- температура в градусах, а y - растворимость в условных частях на 100 частей воды.

Однако, если мы попытаемся определить коэффициенты a и b, полагая x=x_i=0º, 4º, 10º, … и y=y_i=66, 7; 71, 0; 76, 3, …, то придём к 9 уравнениям

y_i=a+bx_i (i=1, 2, …, 9) (5)

относительно двух величин a и b, причём эти уравнения окажутся несовместными. Эта несовместность уравнений может объясняться либо несовершенством теории, предписывающей линейность зависимости, либо погрешностями наблюдений, либо тем и другим вместе. Мы можем, однако, думать, что количественные поправки к теории и наблюдениям невелики, и пытаться если не точно, то приближённо выразить наблюдения линейной зависимостью. Естественно тогда постараться найти такие значения коэффициентов a и b, для которых абсолютные величины «ошибок»

= y_i – (a+bx_i) (i= 1, 2, …, 9 ), (6)

были бы в каком-то смысле «малыми в совокупности».

Метод наименьших квадратов в данном частном случае состоит в определении a и b из условия

(7)

Для нахождения точек (a, b), удовлетворяющих (7), составим уравнения:

С помощью описанной ранее функции PolinomMNK найдём коэффициенты a и b:

,

где x1и y1взяты из (4).

Получим полином первой степени:

y=67.508+0.871*x

(что и было получено Менделеевым ещё в 1881 г.).

2. Необходимо написать программу для определения гравитационной постоянной g следующих совокупностей данных.

Используем подгонку нелинейного МНК: