Лабораторная работа №7 исследование импульсных САУ

Цель работы:

– изучение способов построения импульсных САУ в пакете прикладных программ Matlab;

– изучение зависимости устойчивости и качества переходных процессов импульсных САУ от параметров непрерывной части системы и периода дискретизации.

7.1 Краткие теоретические сведения

В импульсных САУ наряду с непрерывными сигналами существуют импульсно-модулированные сигналы, т.е. сигналы, представляющие собой последовательность импульсов, в одном из параметров которых (амплитуде, длительности или частоте) содержится информация о непрерывном процессе или воздействии. В зависимости от вида импульсной модуляции различают системы с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ), широтно-импульсной (ШИМ) и времяимпульсной (ВИМ). Наиболее изучены системы с AИM, относящиеся к классу линейных импульсных систем.

Рассмотрим систему, представленную на рис.7.1.

Рис. 7.1

В этой структуре импульсный элемент (ИЭ), осуществляет квантование сигнала и его модуляцию. Естественно, при квантовании непрерывного сигнала происходит потеря информации, поскольку значения квантованного сигнала известны только для дискретных моментов времени. Для уменьшения потери информации после квантователя вводят устройство восстановления данных, называемое фиксатором. Его назначение – преобразовать квантованный сигнал в непрерывный, близкий к исходному. Наиболее распространен фиксатор нулевого порядка, запоминающий квантованный сигнал на весь период квантования T.

Другими словами: импульсный элемент состоит из идеального импульсного элемента (квантователя) – ключа и фиксатора с передаточной функцией (рис. 7.2).

Рис. 7.2.

Рассмотрим идеальный импульсный элемент, в котором (дискретное преобразование Лапласа сигнала ) определяется выражением

. (7.1)

Взяв обратное преобразование Лапласа от (7.1), получаем

(7.2)

Здесь – единичная импульсная функция, существующая в моменты времени , а – последовательности -функций с весами, равными значениям исходного непрерывного сигнала в дискретные моменты времени . Сигналы на выходе ИЭ показаны на рис. 7.3.

Рис.7.3

Рассмотрим структуру импульсной системы автоматического управления (ИСАУ), изображенную на рис. 7.4.

Рис. 7.4

Передаточную функцию экстраполятора объединяют с передаточной функцией непрерывной части и получают передаточную функцию эквивалентной непрерывной части по формуле

, (7.3)

после чего производят дискретное преобразование Лапласа (z -преобразование) полученной эквивалентной непрерывной части.

Рассмотрим замкнутую ИСАУ, структура которой изображена на рис. 7.5.

Рис. 7.5

(7.4)

Если найти дискретные преобразования левой и правой частей равенства (7.4), то получим , откуда

, .

Таким образом, замкнутая импульсная САУ имеет передаточную функцию по ошибке

(7.5)

и главную передаточную функцию

. (7.6)

Решение характеристического разностного уравнения

, (7.7)

ищется в виде:

,

где – постоянные коэффициенты,

– корни характеристического уравнения.

Очевидно, что для устойчивости ИСАУ необходимо и достаточно, чтобы . А это возможно, когда все корни характеристического уравнения будут по модулю меньше единицы.

Таким образом, условием устойчивости является соотношение:

. (7.8)

На практике для оценки устойчивости пользуются билинейным преобразованием. При этом делается подстановка:

или обратно (7.9)

В результате преобразования получают аналог дискретной системы в ограниченной области, для которого применимы все критерии и методы исследования устойчивости непрерывных систем.

Приближенно моделью идеального импульсного элемента можно считать

(7.10)

Для экстраполятора нулевого порядка тогда справедливо

(7.11)

Таким образом, реальный импульсный элемент с устройством хранения информации вносит в систему запаздывание, равное .

Преобразованная таким образом структурная схема представлена на рис. 7.6.

Рис.7.6

На практике при моделировании применяют более точное выражение:

(7.12)

Из (7.12) видно, что коэффициенты дискретных моделей являются функциями от периода квантования T.

Следовательно, свойства дискретных моделей зависят от его величины. При обоснованном выборе величины T дискретная модель сохраняет все основные свойства непрерывного объекта: динамику, устойчивость, управляемость, наблюдаемость.

Однозначных рекомендаций по выбору оптимального периода квантования для каждого конкретного случая не существует, т. к. связь этой величины с требуемыми свойствами зачастую сложна и не может быть выражена аналитически. В таких случаях T является одним из параметров оптимизации САУ численными методами.

Наиболее общую рекомендацию по выбору периода квантования дает теорема В. А. Котельникова (в зарубежной литературе ее называют теоремой Шеннона, или импульсной теоремой):

информация о непрерывном сигнале с ограниченным спектром x (t) не будет потеряна, если период квантования

(7.13)

где – ширина спектра x (t).

Теорема верна при выполнении двух условий:

1 Непрерывный сигнал x (t) обладает финитным спектром, т. е. , если ;

2 На выходе квантователя включен идеальный НЧ–фильтр, имеющий прямоугольную частотную характеристику:

На практике условия теоремы не выполняются: сигналы в сочетании с шумом процесса квантования не могут иметь идеальный финитный спектр, и частотная характеристика фиксатора 0-го порядка также далека от идеальной. Поэтому T из (7.13) выбирается значительно меньшим.

Окончательно можно дать следующие рекомендации по выбору T:

1) для разомкнутых дискретно-непрерывных систем необходимо одновременное выполнение условий (7.13) для спектров входного сигнала и помехи;

2) для замкнутых систем, кроме выполнения рекомендации 1), необходимо учитывать частотные свойства самого объекта, т. к. ступенчатый сигнал на его входе, имеющий бесконечный спектр, проходит на выход и через обратную связь вновь поступает на вход. Так как в процессе синтеза приходится подбирать параметры ОС, а частотные свойства объекта при его замыкании существенно меняются, то рекомендуется выбрать несколько значений T в интервале [ T ₁, T _ОУ], где T ₁– период, выбранный по рекомендации 1), а T _ОУ находится из условия (7.13), где w₀– граничная частота спектра объекта, приближенно определяемая по АЧХ.

В процессе анализа полученного закона управления выбирается наибольший период T, удовлетворяющий заданному качеству.

7.2 Порядок выполнения работы

Передаточная функция непрерывного ОУ 3-го порядка имеет вид

.

Варианты заданий выбираются по таблице 7.1.

Таблица 7.1

Варианты заданий

1. Анализ непрерывной модели ОУ.

a)По исходным данным (табл.7.1) получить модель непрерывного объекта и задать ее в системе Matlab. Получить график переходного процесса для замкнутой системы. Экспериментально определить граничное значение коэффициента усиления.

б) Построить график расположение корней на комплекснойs-плоскости. Сделать вывод об устойчивости системы.

в)Построить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики. По АЧХ определить граничную частоту w₀непрерывного ОУ.

г) По формуле (7.13) найти значение периода квантования T ₁, удовлетворяющее условиям восстановления информации со спектром для замкнутой САУ. Выбрать другое значение T ₂, не удовлетворяющее этим условиям.

2.Получение и анализ дискретных моделей непрерывного ОУ

а) В пакете Matlab получить дискретные модели ОУ для T = T ₁и T = T ₂при помощи команда c2d (w, T), где w – передаточная функция непрерывного объекта, T – период квантования.

б) Найти корни характеристического уравнения замкнутых дискретных моделей и построить график распределение нулей и полюсов. Сделать вывод об устойчивости и колебательности моделей.

в)Собрать схему модели замкнутой дискретной системы, подключив ко входу непрерывной части элемент Zero-OrderHold (библиотка Discrete в Simulink Library Browser)

и, установив параметр Sample Time (период квантования T), промоделировать процесс и зарисовать осциллограмму переходного процесса на выходе дискретной системы. Сравнить полученный сигнал с сигналом на выходе непрерывной системы. Сделать вывод о влиянии периода квантования на переходной процесс.

г) Изменяя параметр T, определить границу устойчивости дискретной системы по данному параметру. Определить критическое значение коэффициента усиления. Сравнить его с критическим значением для непрерывной модели. Сделать вывод.

д) Получить логарифмические амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики разомкнутой модели при различных значениях периода квантования. Сделать вывод об условиях и правомерности перехода к квазинепрерывной модели.

е) Получить реакцию непрерывной и дискретной систем(при различных значениях периода квантования) на гармонический сигнал вида . Сделать вывод о влиянии параметра T на качество воспроизведения выходного сигнал.

7.3 Содержание отчета

1. Цель работы.

2. Полученные графики и характеристики по каждому пункту.

3. Расчетные значения.

4. Основные выводы.

7.4 Вопросы для самопроверки

1. Что представляет собой реальный импульсный элемент?

2. Какую функцию выполняет в импульсной системе экстраполятор?

3. Как изменится синусоидальный сигнал при прохождении через импульсную систему, если его частота выше частоты квантования импульсного элемента?

4. Сравните устойчивость дискретных и непрерывных систем.

5. Как влияет период работы импульсного элемента на устойчивость импульсной системы?

6. При каких условиях приемлема замена дискретной передаточной функции эквивалентной непрерывной?