Частотный критерий устойчивости Найквиста.

Данный критерий применяется при анализе устойчивости замкнутой системы. Предположим, что разомкнутая система устойчива. Тогда для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы не охватывал точку с координатами (–1, j 0) на комплексной плоскости.

Частота, на которой называется частотой среза (w_ср). Величина называется запасом устойчивости по фазе (рис. 2.1). Рассматривают также запас устойчивости по модулю (по амплитуде) :

(2.4)

где частота w_p определяется из соотношения:

. (2.5)

Рис. 2.1 Определение запасов устойчивости по АФЧХ

Из критерия Найквиста следует, что устойчивая в разомкнутом состоянии система будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если сдвиг по фазе на частоте среза не достигает –π (–180^°). Выполнение этого условия принято называть критерием устойчивости Найквиста для ЛАЧХ.

По логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой САУ достаточно просто определяются также запасы устойчивости по амплитуде – ∆ L и по фазе -Δ j (рис. 2.2).

В пакете Simulink возможно автоматическое применение трех критериев

устойчивости:

1) по корням характеристического уравнения системы;

2) частотные критерии устойчивости Найквиста;

3) критерий устойчивости Никольса.

Чаще применяются в основном первые два.

Устойчивость системы по корням характеристического уравнения определяется с использованием пакета расширения LTI Viewer.

Рис. 2.2Определение запасов устойчивости по ЛАЧХ

LTI Viewer может быть вызван следующим образом:

1) Выполнить команду Tools \ LinearAnalysis … окна Simulink–модели. В результате выполнения команды откроется окно Model_Inputs_and_Outputs (рис. 2.3), а также пустое окно Simulink LTI-Viewer;

Рис.2.3 Исследуемая модель и окно Model_Inputs_and_Outputs

2) установить блок InputPoint на входе и блок OutputPoint на выход исследуемой системы (рис. 2.4);

Рис.2.4 Исследуемая модель с установленными блоками Input и Output

3) в окне LTI-Viewer выполнить команду Simulink \ Get Linearized Model. Данная команда выполняет линеаризацию модели и строит реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие;

4) Для получения характеристик необходимо выполнить команду
Edit \ PlotConfiguration …. В результате выполнения этой команды откроется окно, показанное на рис. 2.5.

Рис.2.5 Окно PlotConfiguration

В данном окне можно выбрать число отображаемых графиков и вид отображаемых графиков.

Устойчивость системы по корням характеристического уравнения определяется выбором в поле Response type вид графика для представления расположения нулей и полюсов замкнутой системы Pole/Zero.

Устойчивость системы по критерию Найквиста определяется с использованием пакета расширения LTI Viewer:

1) для АФЧХ: Plot Type > Nyquist;

2) для ЛЧХ: Plot Type > Bode.

Для определения запасов устойчивости необходимо выбрать пункт контекстного меню Characteristics> StabilityMargins (рис.2.6).

Рис.2.6 Определение запасов устойчивости

При этом в появляющихся окошках указаны численные значения запасов и частота в соответствующих точках логарифмических частотных характеристик:

– Gainmargin (dB) – запас устойчивости по амплитуде, дБ;

– Phasemargin (deg) – запас устойчивости по фазе, градусы;

– Atfrequency (rad/sec) – “на частоте”, рад/с.

2.2 Порядок выполнения работы

Структурная схема линейной САУ представлена на рис. 2.7.

Рис. 2.7 Структурная схема линейной системы

Соответствующие передаточные функции имеют вид:

; ;

Параметры для каждого варианта задания представлены в табл. 2.1.

Величина коэффициента на начальном этапе принять равной 1. В дальнейшем будет выбираться из условия устойчивости.

1. Записать передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем: при , (т. е. разомкнута главная обратная связь); при - главная передаточная функция замкнутой системы. Задать их в командном окне пакета Matlab.

2. Используя критерий Гурвица, записать в общем виде условия устойчивости. При заданных в табл. 2.1 параметрах найти граничное значение коэффициента передачи , при котором система находиться на границе устойчивости. В дальнейшем полагать .

3. Построить область устойчивости системы в плоскости общего коэффициента передачи и постоянной времени при заданном значении . Найти граничное значение при заданном значении , при котором система выходит на границу устойчивости.

4. Проанализировать устойчивость системы по критерию Найквиста при различных значениях коэффициента K, приняв его равным 0, 5 K _гр, K _гр, 5 K _гр.

5. Набрать модель исследуемой системы в инструментальной среде моделирования Simulink, полагая . Получить переходные процессы в системе при заданных параметрах. Экспериментально определить критическое значение коэффициента передачи , т.е. такое значение, при котором система находится на границе устойчивости.

6. Получить переходные процессы в системе при различных значениях коэффициента K, приняв его равным , .

7. Установив в схеме блоки входа(InputPoint) и выхода(OutputPoint) из библиотеки ControlSystemToolbox, при помощи встроенного инструмента просмотра – LTI-Viewer получить график нулей и полюсов замкнутой системы. Исследовать влияние коэффициента усиления системы на расположение корней характеристического уравнения. Сделать вывод.

8. При помощи встроенного инструмента просмотра – LTI-Viewer, получить ЛАЧХ разомкнутой системы.Определить запасы устойчивости системы при и .

Таблица 2.1

Варианты заданий

Номер варианта
	0, 01	0, 2	16, 5
	0, 02	0, 3		1, 1
	0, 03	0, 4	15, 5	1, 2
	0, 04	0, 5		1, 3
	0, 05	0, 6	14, 5	1, 4
	0, 06	0, 7		1, 5
	0, 07	0, 8	13, 5	1, 6
	0, 08	0, 9		1, 7
	0, 09		12, 5	1, 8
	0, 05	1, 1		1, 9
	0, 06	1, 2	0, 2	11, 5
	0, 07	1, 3	0, 25
	0, 08	1, 4	0, 3	10, 5
	0, 09	1, 5	0, 35
	0, 1	1, 6	0, 4	9, 5

2.3 Содержание отчета

1. Цель работы.

2.Структурная схема исследуемой системы и численные значения параметров.

3.Рассчитанные и экспериментально найденные критические значения параметров.

4. График переходных процессов исследуемой системы.

5. График зависимости K _гр(T₂).

2.4 Контрольные вопросы

1. Как формулируется основное условие устойчивости линейных систем?

2. Как по АФХ исследуемой разомкнутой системы найти k _1кр?

3. Как, используя критерий Гурвица для замкнутой системы, найти критическое значение коэффициента разомкнутой системы?

4.Какой вид имеет переходная характеристика системы, находящейся на колебательной границе устойчивости?

5.Каковы условия положения системы на границе устойчивости по критериям Гурвица, Михайлова, Найквиста?