Колебательное звено.

Динамика процессов в колебательном звене описывается уравнением (1.16):

, (1.16)

где K - коэффициент усиления звена;

Т -постоянная времени колебательного звена, определяющая угловую
частоту свободных колебаний ;

- коэффициент демпфирования звена (или коэффициент затухания).

В зависимости от величины коэффициента демпфирования различают
четыре типа звеньев:

а) колебательное 0< < 1;

б) апериодическое звено II порядка > 1;

в) консервативное звено =0;

г) неустойчивое колебательное звено < 0.

Общепринятая запись передаточной функции колебательного звена имеет вид (1.17):

. (1.17)

Переходная характеристика колебательного звена представлена на рис. 1.5:

Рис. 1.5

Весовая функция колебательного звена определяется по выражению

.

Частотные и временные характеристики звена имеют следующий вид:

-АФЧХ

;

-АЧХ

;

-ФЧХ

- ЛАЧХ

Графики частотных характеристик колебательного звена приведены на рисунке 1.6.

а – АФЧХ	б – АЧХ
в – ФЧХ	г – ЛАЧХ

Рис. 1.6.

Анализ АЧХ показывает, что для любого , если . При на графике появляется «горб», который уходит в бесконечность при .

Реальное интегрирующее звено. Реальное интегрирующее звено представляет собой последовательное соединение идеального интегрирующего звена и апериодического.

Динамика процесса в таком звене описывается следующим уравнением:

,

и передаточная функция примет вид

. (1.18)

Временные характеристики реального интегрирующего звена определяются по формулам:

Частотные характеристики реального интегрирующего звена определяются по формулам:

-АФЧХ

;

-АЧХ

;

-ФЧХ

- ЛАЧХ

Фоpсиpующеeзвeнопepвогопоpядка.

Дифференциальное уравнение и передаточная функция звена имеют вид

,

,

а частотные и временные характеристики определяются выражениями

, ,

, ,

, .

В системе MATLAB для описания моделей систем и действий над ними используется пакет прикладных программ ControlSystemToolbox [].

В пакете введен класс объектов, называемый lti– объекты –линейные с постоянными параметрами. При создании lti –объекта ему присваивается имя. Передаточная функция имеет две формы представления:

tf – форма, в которой передаточная функция задается двумя векторами–строками, составленными из коэффициентов многочленов числителя и знаменателя в порядке убывания степеней s.

Например, оператор W = tf ([2 1], [1 3 7]) создает объект W подкласса tf, соответствующий передаточной функции ;

zpk – форма нулей, полюсов и коэффициента усиления, которая определяет передаточную функцию (1.19) выражением вида

(1.19)

где k – коэффициент усиления;

z ₁, z ₂, …, z_m – нули системы, т.е. корни многочлена числителя;

p ₁, p ₂, …, p_n – полюсы системы, т.е. корни многочлена знаменателя.

Объективно нули полосы имеют отрицательную действительную часть.

В zpk –форме передаточная функция описывается двумя векторами–строками и одним числом, задающими нули, полюсы и коэффициент усиления системы.

Например, оператор W = zpk (0, [-1- j, -1+ j, -2], 5) формирует zpk –объект, соответствующий передаточной функции

.

При отсутствии нулей на их место записывается знак «пусто» [ ].

При описании элементов и систем кроме входных u (t) и выходных y (t) переменных можно выделить некоторые промежуточные переменные x (t), которые связаны с внутренней структурой системы и называются переменными состояния.

В параметрах пространства состояний система n -го порядка с одним входом и одним выходом описывается системой уравнений (1.20)

(1.20)

Здесь А – квадратная матрица порядка n, элементы которой определяются коэффициентами дифференциального уравнения, В – вектор-столбец [ n ·1] постоянных коэффициентов, С – вектор–строка [1· n ] постоянных коэффициентов, D – одноэлементная матрица.

Описание системы в параметрах пространства состояний предусматривает переход от дифференциального уравнения n -го порядка к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка и алгебраическому уравнению вход—состояние—выход.

ss– форма представления системы используется для формирования модели в пространстве состояний. Оператор описывает объект W четверкой матриц A, B, C, D, которые должны иметь согласованные размеры.

Пакет ControlSystem содержит ряд команд для временного и частотного анализа, необходимых для проектирования СУ.

Временной отклик. Он описывает переходные процессы в LTI системах во времени при воздействиях на входе и возмущениях на входе. Для этого используются следующие команды (табл. 1.1):

Таблица 1.1

Команды Matlab

Функции step, impulse, initial автоматически выбирают пределы по оси абсцисс для построения переходного процесса. Их синтаксис таков:

step(sys)

impulse(sys)

initial(sys, x0) % x0 – вектор начальных значений переменных состояния.

Автоматический режим выбора пределов времени на графиках можно отменить, задав конечноезначение времени:

step(sys, 10) % simulates from 0 to 10 seconds

или вектор равномерно распределенных значений времени отсчета:

t = 0: 0.01: 10 % отсчет осуществляется каждые 0, 01 секунд

step(sys, t)

Частотный отклик. Он позволяет исследовать поведение LTI модели в частотной области и определить полосу пропускания, резонансную частоту, коэффициент усиления на постоянном токе, АЧХ и ФЧХ, устойчивость замкнутой системы.

Для этого используют следующие команды (табл.1.2):

Таблица1.2

Команды Matlab

В этих командах диапазон частот выбирается автоматически в зависимости от расположения нулей и полюсов системы. Для задания частотной области точно в интервале {wmin, wmax} используют такой синтаксис команд

bode(sys, {wmin, wmax}) % обратите внимание на фигурные скобки

Можно также задать вектор интересующих частот.

Например,

w = logspace(-1, 2, 100)

bode(sys, w)

.

Команда logspace задает вектор w логарифмически распределенных частот, начиная с 10^-1 = 0, 1 рад/с и заканчивая 10² =100 рад/с, всего 100 точек.

1.2 Порядок выполнения работы

1. Задать в виде tf -модели передаточные функции следующих элементарных звеньев:

– идеального интегрирующего ;

– реального интегрирующего ;

– апериодического ;

– колебательного ;

– форсирующего ;

– интегродифференцирующего .

Параметры звеньев установить в соответствии с вариантом задания(см. табл.1.3).

Tf -модель звена с выбранными параметрами сохранить в отдельном
m -файле с соответствующим именем (например, zveno1) на диске в рабочем каталоге.

2. В созданных и сохраненныхm-файлахс передаточными функциями типовых звеньев реализовать возможность графического представления следующих характеристик этих звеньев:

–переходной функции h (t) – step(zveno1);

–импульсной функции w (t) – impulse(zveno1);

–логарифмических амплитудной и фазочастотных функций L (w) и j(w) – bode(zveno1);

–АФЧХ или частотного годографа Найквиста W (j w) – nyquist(zveno1).

Для форсирующего звена построить графики переходной и импульсной функций не представляется возможным. В отчёте письменно поясните причину такого явления и укажите, как реализуется это звенья на практике.

3. Исследовать влияние коэффициента усиления K на временные и частотные характеристикиинтегрирующего, апериодического и колебательного звеньев. Параметры К принять равным 0, 5 K, K, 2 K.

4. Исследовать влияние постоянной времени T на временные и частотные характеристикиапериодического и колебательного звеньев.Параметры T принять равным 0, 5 T, T, 2 T.

5. Исследовать влияние параметра ξ на временные и частотные характеристикиколебательного звена. Параметры ξ принять равным 0, 2ξ, ξ, 2ξ.

6. Исследовать влияние постоянной времени T реального интегрирующего звена на временные и частотные характеристики. Параметр T принять равным T, 0, 1 T, 0, 01 T. Предусмотреть вывод характеристик совместно с характеристиками идеального интегрирующего звена.

7. Построить частотные характеристики для интегро-дифференцирую-щего звена при соотношении T ₁> T ₂ и T ₁< T ₂.

1.3 Варианты заданий

Варианты заданий приведены в таблице 1.3.

Таблица 1.3

Варианты заданий

Окончание табл. 1.3

1.4 Содержание отчета

Отчет должен содержать следующие разделы:

1.Цель работы.

2.Математические модели динамических звеньев.

3.Графики временные и частотных характеристик.

4.Выводы. Сравнительный анализ результатов моделирования.

1.5Контрольные вопросы

1. Перечислите типовые звенья САУ.

2. Перечислите основные типовые сигналы, применяемые при анализе САУ.

3. Какие временные характеристики звеньев применяют в ТАУ?

4. Какие существуют частотные характеристики звеньев? Объясните их физический смысл, принцип построения.

5. Какие существуют способы математического описания САУ в Matlab?

6. Какие функции анализа статических и динамических характеристик систем существуют в Matlab?