Лабораторная работа № 1 исследование характеристик типовых звеньев систем автоматического управления

Цель работы:

–исследование переходных характеристик и динамических свойств типовых звеньев автоматического управления.

1.1 Краткие теоретические сведения

Математическое описание системы, т.е. получение ее математической модели, начинается с разбиения ее на звенья и описания этих звеньев. Это описание может осуществляться либо аналитически в виде уравнений, связывающих входные и выходные величины звена, либо графически в виде характеристик, описывающих ту же связь. По уравнениям или характеристикам отдельных звеньев составляются уравнения или характеристики системы в целом, на основании которых и исследуется система.

Наиболее распространенными способами математического описания линейных систем являются:

а) дифференциальные уравнения;

б) уравнения состояния – система дифференциальных уравнений, записанная в форме Коши;

в) передаточные функции.

Дифференциальное уравнение, описывающее линейную динамическую систему (или ее часть), имеет вид:

(1.1)

где – входной сигнал;

– выходной сигнал;

– постоянные параметры.

Коэффициенты зависят от конструктивных параметров и, возможно, от режима работы системы. Порядок n дифференциального уравнения будет определять также и соответствующий порядок системы.

Для полного математического описания процессов следует задавать начальные условия , которые чаще всего будем полагать нулевыми.

В теории автоматического управления наряду с (1.1) уравнения записывают в стандартной форме, когда координаты при переменных и равны единице. Вынося за скобки и , имеем

(1.2)

или, вводя обозначения , , …; , , …, получим следующий вид дифференциального уравнения:

, (1.3)

где – постоянные времeни, [с];

К – коэффициент пepeдачи (усилeния), [разм. х ₂/ разм. х ₁].

Уравнения (1.2) и (1.3) можно записать также в операторном (символическом) виде, вводя дифференциальный оператор такой, что

.

Тогда уравнение (1.1) может быть записано в операторной форме:

.

обозначая

, ,

будем иметь

.

Основной характеристикой звена САУ является его дифференциальное уравнение. Однако наряду с ним в теории управления нашли применение и другие характеристики. Важнейшей из них является передаточная функция, получаемая на основе применения преобразования Лапласа к исходному дифференциальному уравнению звена.

Если в дифференциальном уравнении звена (1.1)положить , то после применения прямого преобразования Лапласа получим алгебраическое уравнение относительно изображений:

,

откуда

. (1.4)

Пepeдаточная функция звена W (s) есть отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Если взять дифференциальное уравнение звена в операторной форме (1.3), то формально W (s) получим делением оператора B (p) на оператор A (p) с заменой p на s:

.

Числитель и знаменатель передаточной функции (1.4) представляет собой полиномы переменной s. Корни полинома числителя обращают выражение в ноль и поэтому называются нулями, а корни знаменателя называются полюсами. Передаточная функция, записанная при использовании нулей (z) и полюсов (p), представлена в виде:

. (1.5)

Алгоритмические звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, получили название типовых динамических звеньев.

Типы звеньев систем управления различаются по виду их передаточной функции (или дифференциального уравнения), определяющей все их динамические свойства и характеристики.

Характеристика звена - это его реакция на определенное входное воздействие. В качестве входных воздействий, на которые ищется реакция звена, приняты воздействия, описываемые элементарными математическими функциями, то есть такими, на которые можно разложить любые произвольные функции. В теории управления в качестве элементарных функций используются:

– единичная импульсная или дельта-функция ;

– единичная ступенчатая функция 1(t);

– гармоническая функция х ₀sin(w t).

В ТАУ широко применяются временные (импульсная и переходная функции) и частотные характеристики.

Импульсная или весовая функция w (t) представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию.

Весовой функцией звена w (t) называется оригинал (т.е. обратное преобразование Лапласа) передаточной функции, а именно:

. (1.6)

Переходная функция звена h (t)представляет собой реакцию звена на единичную ступенчатую функцию и определяется как обратное преобразование Лапласа по формуле:

. (1.7)