Спектральная плотность дискретных сигналов

Дискретный сигнал с точностью до коэффициента пропорциональности равен произведению функции и дискретизирующей последовательности :

(3.6)

Известно, что спектр произведения двух сигналов пропорционален свертке их спектральных плотностей. Поэтому если известны законы соответствия сигналов и спектров:

то спектральная плотность дискретизированного сигнала

(3.7)

Чтобы найти спектральную плотность дискретизирующей последовательности, разложим периодическую функцию в комплексный ряд Фурье:

Коэффициенты этого ряда

Исходя из фильтрующих свойств дельта функции получаем

(3.8)

т.е. спектр дискретизирующей последовательности состоит из бесконечной совокупности дельта-импульсов в частной области. Данная спектральная плотность является периодической функцией с периодом

Подставим формулу (3.8) в (3.7) и изменив порядок следования операций интегрирования и суммирования, находим

(3.9)

Спектр сигнала, полученного в результате дискретизации бесконечно короткими стробирующими импульсами, представляет собой сумму бесконечного числа “копий” спектра исходного аналогового сигнала. Копии располагаются на оси частот через одинаковые интервалы , равные значению угловой частоты первой гармоники дискретизирующей импульсной последовательности.

рис.3.3