Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Представление произвольного сигнала в виде суммы элементарных колебаний.
Для теории сигналов и их обработки важное значение разложение заданной функции по различным ортогональным системам функций . Бесконечная система действительных функций: (1.3) называется ортогональной на отрезке , если: , при (1.4) При этом предполагается, что: (1.5) т.е. что никакая из функций рассматриваемой системы (1.3) не равна тождественно нулю. Условие (1.4) выражает попарную ортогональность функций системы (1.3). Величина (1.6) называется нормой функции . Функция , для которой выполняется условие: , (1.7) называется нормированной функцией, а система нормированных функций , в которой каждые две различные функции взаимно ортогональны, называется ортонормированной системой. Если функции непрерывны, тогда произвольная кусочно-непрерывная функция , для которой выполняется условие: , может быть представлена в виде суммы ряда: (1.8) Умножим обе части выражения (1.8) на и проинтегрируем в пределах : Все слагаемые вида при обращаются в нуль в силу ортогональности функций и . В правой части остается одно слагаемое: , что позволяет написать Откуда следует важное выражение: (1.9) Ряд (1.8), в котором координаты определяются по формуле (1.9), называется обобщенным рядом Фурье. По данной системе . Совокупность коэффициентов называется спектром сигнала. в ортогональной системе и полностью определяет етот сигнал. Для системы функций принимающих комплексные значения, приведенные выше определения обобщаются следующим образом: - условие ортогональности: , при ; - квадрат нормы функции: ; - коэффициенты Фурье: . В этих выражениях обозначает функцию, комплексно-сопряженную функции . Применительно к сигналам , являющимся функциями времени выражение (1.8) будет записываться в форме: Квадрат нормы функции : Таким образом, энергия сигнала: а при использовании ортонормированной системы функции : Очевидно, что средняя за время мощность сигнала: Наибольшее распространение получила ортогональная система основных тригонометрических функций-синусов и косинусов, Во-первых, гармонические функций (гармонические колебания) являются единственной функцией времени сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную цеп. Во-вторых, разложение сложного сигнала по синусам и косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи.
|