Анализ межотраслевых связей. Модель межотраслевого баланса. Решение уравнений. Модель Леонтьева

Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель, образуемую перекрестным наложением строк и колонок таблицы, то есть балансов распределения продукции и затрат на ее производство, увязанных по итогам.

Главные показатели здесь – коэффициенты полных и прямых затрат.

Динамическая модель межотраслевого баланса характеризует производственные связи народного хозяйства на ряд лет, отражает процесс воспроизводства в динамике.

По модели межотраслевого баланса выполняются два типа расчетов: первый тип, когда по заданному уровню конечного потребления рассчитывается сбалансированный объем производства и распределения продукции; второй тип, включающий смешанные расчеты, когда по заданным объемам производства по одним отраслям (продуктам) и заданному конечному потреблению в других отраслях рассчитывается баланс производства и распределения продукции в полном объеме.

Наибольшее распространение получила матричная экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Она представляет собой прямоугольную таблицу (матрицу), элементы которой отражают связи экономических объектов. Количественные значения этих объектов вычисляются по установленным в теории матриц правилам. В матричной модели отражается структура затрат на производство и распределение продукции и вновь созданной стоимости.

Модель Леонтьева «затраты-выпуск»

Предположим, что производственный сектор народного хозяйства разбит на n отраслей (энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.д.).

Рассмотрим отрасль i, i = 1, 2, …, n. Она выпускает некую продукцию за данный промежуток времени (например, за год) в объеме x_i, который еще называют валовым выпуском. Часть объема продукции x_i, произведенная i-ой отраслью используется для собственного производства в объеме x_ii, часть – поступает в остальные отрасли j = 1, 2, …, n для потребления при производстве в объемах x_ij, и некоторая часть объемом y_i – для потребления в непроизводственной сфере, так называемый объем конечного потребления. Перечисленные сферы распределения валового продукта i-ой отрасли приводят к соотношению баланса

, i = 1, 2, …, n.

Введем коэффициенты прямых затрат a _ij, которые показывают, сколько единиц продукции i-ой отрасли затрачивается на производство одной единицы продукции в отрасли j. Тогда можно записать, что количество продукции, произведенной в отрасли i в объеме x_ij и поступающей для производственных нужд в отрасль j, равно

Считаем сложившуюся технологию производства во всех отраслях неизменной (за рассматриваемый период времени), означающую, что коэффициенты прямых затрат a _ij постоянны. Тогда получаем следующее соотношение баланса, называемого моделью Леонтьева

, i = 1, 2, …, n. (1)

Введя вектор валового выпуска X, матрицу прямых затрат A и вектор конечного потребления Y

модель Леонтьева (1) можно записать в матричном виде

X = AX + Y (2)

Матрица A ≥ 0, у которой все элементы a _ij ≥ 0 (неотрицательны), называется продуктивной матрицей, если существует такой неотрицательный вектор X ≥ 0, для которого выполняется неравенство

X > AX.

Это неравенство означает, что существует хотя бы один режим работы отраслей данной экономической системы, при котором продукции выпускается больше, чем затрачивается на ее производство. Другими словами, при этом режиме создается конечный (прибавочный) продукт Y = X – AX > 0.

Модель Леонтьева с продуктивной матрицей A называется продуктивной моделью.

Для проверки продуктивности матрицы A достаточно существования обратной матрицы B = (E – A)^-1 с неотрицательными элементами, где матрица E – единичная матрица

.

С помощью модели Леонтьева (2) можно выполнить три вида плановых расчетов, при условии соблюдения условия продуктивности матрицы A:

1) Зная (или задавая) объемы валовой продукции всех отраслей X можно определить объемы конечной продукции всех отраслей Y

Y = (E – A)X

2) Задавая величины конечной продукции всех отраслей Y можно определить величины валовой продукции каждой отрасли

X = (E – A)^-1Y (3)

3) Задавая для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Матрица

B = (E – A)^-1

называется матрицей полных материальных затрат. Ее смысл следует из матричного равенства (3), которое можно записать в виде X = BY. Элементы матрицы B показывают, сколько всего необходимо произвести продукции в i-ой отрасли, для выпуска в сферу конечного потребления единицы продукции отрасли j.

Метод «затраты – выпуск» стал универсальным способом прогнозирования и планирования в условиях, как рыночной, так и директивной экономики.