Интерполяционный полином Лагранжа. Указанных недостатков лишен интерполяционный полином Лагранжа.

Указанных недостатков лишен интерполяционный полином Лагранжа.

Пусть известны значения функции в точках x_i: . Интерполяционным полиномом называется многочлен степени не выше n такой, что его значения в точках x_i совпадают со значениями функции в этих точках:

. (4.4)

точки x_i называются узлами интерполяции.

Вычисление значения функции в точке х, лежащей между узлами интерполяции, называется интерполяцией функции . Если точка x лежит вне пределов отрезка, содержащего все узлы, тогда процесс вычисления называется экстраполяцией.

Теорема 4.1. Многочлен L_n, удовлетворяющий условию (4.4), существует и единственен.

Доказательство.

Рассмотрим многочлен следующего вида:

, (4.5)

где .

Покажем, что он интерполяционный. Нетрудно видеть, что ; . Следовательно, если в L_n подставить x_{i ,} то ненулевым будет только многочлен P_ni, т.е. .

Таким образом, существование интерполяционного полинома доказано.

Пусть существует два таких многочлена: и . Рассмотрим их разность: - также многочлен степени не выше n.

;

т.е. обращается в 0 по крайней мере в n+ 1 точке, т.е. имеет n+ 1 корень.

По основной теореме алгебры многочлен степени n имеет не больше n вещественных корней, а Q_n имеет n+ 1 корень, следовательно, , а значит, , т.е. интерполяционный полином единственен.

называется интерполяционным полиномом Лагранжа, а многочлены - лагранжевыми коэффициентами.

Из теоремы 4.1 следуют три утверждения.

Следствие 4.1.1. Если является многочленом степени не выше п (), то ее интерполяционный полином совпадает с ней самой: .

Следствие 4.1.2. Пусть все f_i= 1, i= 0, 1,..., n. Тогда , а следовательно, . Таким образом, вычисление лагранжевых коэффициентов можно контролировать.

Следствие 4.1.3. Если функция является линейной комбинацией некоторых функций, то ее интерполяционный полином равен сумме интерполяционных полиномов, т.к. зависит линейно от значений в узлах.