Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Классификация автоматических систем.
|
|
I. По назначению:
Система управления применяется для решения 3 задач:
1. Задача стабилизации – поддержание заданного режима работы, который не меняется длительное время (задающий сигнал постоянен, либо нуль).
2. Программное управление – управление по заранее известной программе (задающий сигнал меняется, но заранее известен).
3. Слежение за неизвестным задающим сигналом – используется для усиления и задавания сигнала.
II. По количеству регулируемых величин (y):
1. Одномерные – системы с одной регулирующей величиной.
2. Многомерные – системы с несколькими регулирующими величинами.
III. По характеру сигналов:
1. Непрерывные
2. Дискретные
3. Непрерывно-дискретные
Непрерывные – все сигналы функций непрерывного времени, определеятся на некотором интервале (система управляется движением, в котором используются компьютерные микропроцессоры).
Дискретные – система использует дискретные сигналы (последовательности чисел, определённые только в отдельные моменты времени).
Непрерывно-дискретная система – это система, которая использует и непрерывные и дискретные сигналы (компьютерная система управления движущимся объектом).
IV. Стационарные и нестационарные системы:
1. Стационарные системы – системы, в которых все параметры остаются постоянными, не изменяющимися во времени.
2. Нестационарная система – система, в которой параметры системы управления изменяются.
V. Классификация по точности:
1. Детерминированные
2. Стохастические (вероятные)
Детерминированная система – система, в которой все параметры объекта заданы точно, как и внешнее воздействие.
Стохастическая система – система, в которой нет случайных возмущений или параметры объекта могут изменяться случайным образом.
VI. Оптимальные системы
Оптимальные системы – системы, в которых регулятор строится так, чтобы обеспечить минимум и максимум какого-то критерия качества.
VII. По характеру алгоритма управления:
1. Разомкнутые автоматические системы.
2. Автоматические системы компенсации.
3. Замкнутые автоматические системы (с обратной связью)
4. Адаптивные автоматические системы (самонастраивающиеся)
Если параметры ОУ известны не точно, то используются Адаптивные АС, в которых закон управления изменяется в соответствии с внешними условиями.
5. Экстремальные автоматические системы – адаптивная система, которая пытается настроить регулятор так, чтобы найти максимум или минимум какого-то критерия качества.
6. Автоматические системы на основе нейронной сети – регулятор строится на основе нейтронной сети
VIII. По характеру математической модели:
1. Линейные – системы, которые описываются линейными уравнениями
2. Нелинейные.
IX. По виду используемой для управления энергии:
1. Гидравлические
2. Электрические
3. Пневматические
4. Смешанные
5. Механические.
Лекция 3.
Глава 2.
Динамические характеристики линейных автоматических систем.
Понятие о математической модели (ММ).
При рассмотрении автоматических систем решается одна из двух задач:
1. Задача анализа – автоматическая система задана, включая значения её параметров. Требуется определить её свойства.
2. Задача синтеза – задаются свойства, которыми должна обладать автоматическая система. Требуется создать систему, удовлетворяющую этим требованиям. Задача синтеза много сложнее задачи анализа прежде всего из-за её неоднозначности. В любом случае, исследование автоматических систем начинается с разработки её математического описания (МО).
Математическое описание (МО) – описание процессов, происходящих в системе на языке математики.
МО системы начинается с разбиения её на звенья и описания этих звеньев.
Виды МО:
1. Аналитическое МО – формируется система математических уравнений (дифференциальных, интегральных, алгебраических), которые связывают входные и выходные величины звена. В этом случае МО называется Математической моделью (ММ). При разработке ММ учитываются наиболее существенные черты протекающих в системе процессов.
2. Графическое МО – наглядно представляет ММ в виде характеристик (структурных схем).
3. Табличное МО (таблицы истинности) – используется для описания дискретных автоматических систем.
При аналитическом математическом описании, основу математической модели составляют дифференциальные уравнения динамики.
Динамика – это изменение системы во времени под действием переменных внешних факторов.
Все реальные автоматические системы – это Динамические системы (ДС).
Частным случаем динамического состояния является установившийся режим.
Установившийся режим работы автоматической системы – состояние системы, при котором устанавливается постоянное равновесное состояние между выходом и входом.
Частным случаем установившегося режима является статический режим (статика) - это состояние системы, при котором внешнее воздействие является постоянным и, следовательно, выходящая величина также постоянна.
 |
 |
 | |||
 |
x(t)=x0=const
f(t)=f0=const
y(t)=y0=const
Статический режим работы.
Общий вид уравнения динамики: F(y, y’, y’’, x, x’, f)=0 – динамическая система 2-го порядка (ДС2).
Порядок системы определяется порядком старшей производной:
F(y, 0, 0, x0, 0, f0) – уравнение статики.
Если внешнее воздействие возникает внезапно или меняет характер изменения, то в системе возникает переходной режим работы (переходной процесс).
В результате переходного процесса система переходит к новому установившемуся режиму. Установившийся режим принято называть невозмущённым движением системы, а переходной – возмущённым движением системы.
Получен в результате применения оператора U ко входу х.
U (оператор) – некоторое правило, по которому элемент АС преобразуется, входя в выход y. Построить ММ – это значит найти оператор, связывающий вход и выход.
Линеаризация.
Среди операторов самые простые – это линейные.
Чтобы оператор был линейным необходимо выполнение двух условий:
1. Умножение на константу: U[c*x]=c*U[x], c=const, т.е. при увеличении входа в ‘c’ раз, выход увеличивается во столько же раз.
2. Принцип суперпозиции: U[Σ xi]=Σ U[xi]
Если на вход АС мы подаём сумму сигналов, то выход – сумма реакций того же оператора на отдельные сигналы.
Модели, которые описывается линейными операторами называются линейными математическими моделями (ММ).
Главная особенность линейных (ММ) – принцип суперпозиции. Благодаря ему можно найти реакцию системы на сложное воздействие, представив его как сумму элементарных воздействий.
Но все реальные системы не линейные. Методы исследования нелинейных операторов очень сложны математически. Трудности, связанные с исследованием нелинейных систем, заставляют упрощать их математическое описание и желательным пределом такого упрощения является линеаризация – один из способов приближённого описания нелинейных систем, при котором нелинейная система приближённо заменяется линейной.
Лекция 5.
Линеаризованное ДУ можно привести и к такому виду: T22y’’+T1y+y=к(tx’+x)
Линеаризованное ДУ также можно привести и к такому стандартному виду:
T22y’’+2ζ T2y’+y=k(τ x’+x)
ζ = 
= 
0 ≤ ζ ≤ 1 – безразмерный коэффициент демпфирования.
Лекция 4.
Методы линеаризации.
I. Метод осреднений (метод секущей)
Применяется при линеаризации статических характеристик. Статической характеристикой элемента называется кривая зависимости выходной переменной «y» от входной переменной «х». Заключается в замене нелинейной зависимости, заданной графиком прямой линии.
y=φ (х) – нелинейная статическая зависимость.
Этот метод не применяется для линеаризации ДУ (динамических характеристик). В этом случае применяется следующий метод.
II. Метод малых отклонений (возмущений).
Нормально функционирующая АС должна работать в заданном режиме. При этом отклонений переменных, описывающих данную систему, мало (в силу малых возмущений). Поэтому в математическое описание в окрестности точки выбранного режима работы (точка линеаризации) раскладывается в ряд Тейлора, и в этом разложении удерживается только линейная часть ряда, что позволяет получить линейную (ММ).
x=x0+δ x
y=y0+δ y
Предполагаем, что система работает вблизи рабочей точки с малыми отклонениями, где δ x и δ y – малые отклонения вблизи рабочей точки (входа и выхода). В этом случае исходную нелинейную зависимость y=φ (х) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности «m» (x0; y0).
y=φ (x0+δ x)=y0+δ y=φ (x0)+(
)δ x+ 
)δ 
+… 
()δ 
+…
x=x0
y=y0
В этом ряде отбрасываем члены выше 1-го порядка малости. Получаем следующую приближенную зависимость:
y≈ y0+δ y=φ (x0)+ 
δ x+[x] – члены выше 1-го порядка.
– значение функции производной φ (x) по «х» при подстановке значений этой производной х=х0
δ y= δ x=kл δ x – линейная математическая модель ОУ, записанная в отклонениях входа и выхода от рабочей точки.
Приближенная модель точнее всего соответствует объекту вблизи рабочей точки. Проведённая линеаризация имеет простую графическую интерпретацию: она соответствует замене исходной нелинейной характеристики, касательной к ней в точке установившегося режима.
kл=tgα
б) линеаризация ДУ.
F(y’’, y’, y, x, x’)=0 – уравнение динамики
n=2 – порядок системы.
Пусть заданному режиму работы соответствует значение x=x0; x'=x0’; y=y0; y’=y0’; y’’=y0’’.
Обозначим отклонения реальных значений переменных «х» и «у» от требуемых через δ x и δ y, тогда:
x=х0+ δ x
x’=х0’+ δ x’
у=у0+ δ y
у’=у0’+ δ y’
у’’=у0’’+ δ y’’
Подставим эти уравнения в исходное уравнение динамики:
Рассматривая функцию F как независимую, разложим эту функцию в ряд Тейлора в точке заданного режима и отбросим члены выше 1-го порядка.
(1) F0+ 
δ y’’+ 
δ y’ 
δ y+ 
δ x’ 
δ x+…= 0.
(2) F=0 – если в системе устанавливается заданный режим работы. Нули в индексах означают, что функция и производная вычисляются в точке заданного режима.
Вычтем из (2) уравнение (1). Получим: в
c2 δ y’’+c1 δ y’+c0 δ y=b1 δ x+b0 δ x – линеаризованное ДУ в отклонениях, где:
с2= 
b1=- 
c1= b0=- 
c0= 
Обычно при записи ДУ в отклонениях знак δ не пишут:
c2y’’(t)+c1y’(t)+c0y(t)=b1x’(t)+b0x(t)
Проведенная линеаризация справедлива, если выполняются 2 условия:
1. Отклонение входной и выходной величины (δ х и δ у) достаточно малы.
2. Функция F обладает непрерывными частными производными по всем своим аргументам в окрестностях заданной точки (x0; y0).
Если эти 2 условия не выполняются, то линеаризацию проводить нельзя.
Приведение уравнений к стационарному виду.
В ТАУ приняты определённые формы записи линеаризованных ДУ звеньев. Особенности приведенной формы записи заключаются в следующем:
1. Выходная переменная и её производные располагаются в левой части уравнения. Входная и её производные – в правой.
2. Коэффициент при приращении выходной переменной равен 1.
3. В правой части, числа, содержащие одну и ту же входную переменную, и её производные, объединяют в одну группу и коэффициент при соответствии входной переменной выносят за скобку
Пример:
c2y’’+c1y’+c0y=b1x’+b0x
+ 
+y= 
T22y’’+T1y’+y=k(τ x’+x)
где T2, T1, τ, k – динамические параметры.
T2= 
[c]
T2= 
[c]
τ = 
[c]
k= 
T2, T, τ – постоянные времени.
k – передаточный коэффициент.
Если исходное уравнение не содержит (с0=0), то в стандартной форме коэффициент при «у» должен быть равен 1 (с1=1). Обе части уравнения делят на с1.
Лекция 5.
Преобразование Лапласа.
В общем случае, автоматическая система управления – это сложное соединение взаимодействующих элементов. Чтобы получить математическую модель (ММ) системы нужно составить ДУ каждого из её элементов и в подученной системе уравнений исключить все промежуточные переменные. Эти операции, как правило, трудоёмки и громоздки. Чтобы упростить процедуру, математики придумали преобразование, которое позволило заменить решение ДУ алгебраическими вычислениями, то есть операциями с полиномами (многочленами) и рациональными функциями. Такое преобразование получило название преобразование Лапласа, благодаря которому функция времени x(t) ставится в соответствие изображению X(S).
x(t) à X(S)
оригинализображение
S – комплексная переменная.
S – переменная преобразования Лапласа.
L{x(t)} = X(S), L – оператор Лапласа
преобразование
Лапласа
Эта запись означает, что изображением оригинала x(t) является образ X(S). Для упрощения решения задачи с помощью преобразования Лапласа переходим из пространства оригинала в пространство изображения, выполняя операции над изображением, возвращаемся в пространство оригинала и получаем результат
Различают прямое преобразование Лапласа и обратное:
1. L{x(t)}=X(S)= 
– прямое преобразование Лапласа.
2. 
{X(S)}=x(t)= 
– обратное преобразование Лапласа.
j= 
;
S – комплексная переменная;
Ϭ =const;
Для выполнения преобразования Лапласа необходимо соблюдение двух условий:
1. Функция x(t)≡ 0 при t< 0, то есть оригинал – это одностороння функция времени.
2. |x(t)|< M 
, 0≤ t< 
М, с – положительные константы (М, с> 0). Которые ограничивают рост функции x(t), при этом постоянная «с» является показателем роста функции.
На практике вместо интеграла используют готовые таблицы, по которым можно зразу определить изображение по оригиналу или наоборот.
Основные теоремы преобразования Лапласа.
1. Теорема линейности
L{a*x1(t) + b*x2(t)} = a*X1(S) + b*X2(S)
линейная комбинация
оригинала
Преобразование Лапласа от суммы функций равно сумме преобразований слагаемых и постоянные множители можно выносить за знак преобразования
a, b – const;
2. Теорема о дифференцировании оригинала.
L{ 
} = SkX(S) – Sk-1x(0) – Sk-2x(0) – … – x(0)
задают ненулевые начальные
на оригинал
Если начальные условия на оригинал равны нулю, то получаем:
L{ }=SkX(S)
При нулевых начальных условиях, дифференцированию оригинала соответствует умноженное изображение на S.
3. Теорема интегрирования.
Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на S.
L{ 
} = 
τ – переменная времени.
4. Теорема о предельных значениях.
x(0)= 
= 
Преобразование Лапласа позволяет сразу получить начальное и конечное значение функции и оригинала, не вычисляя самого оригинала.
Передаточная функция.
Пусть математическая модель объекта управления задана линейным ДУ второго порядка, связывающим вход x(t) и выход y(t).
(1) b2 
+b1 
+b0y(t)=a1 
+a0x(t)
ai(i=0, 1), bj(j=0, 1, 2) – const;
Введём оператор дифференцирования:
p≡ 
, который действует на сигнал x(t) по правилу px(t)= 
px(t) – эта запись обозначает не умножение оператора р на х(t), а действие этого оператора, т.е. дифференцирование х(t).
Запишем производные сигнала х(t) и y(t) по времени в операторной форме:
Подставляем эти выражения в (1):
b2y(t)+b1py(t)+b0y(t)=a1px(t)+a0x(t) – операторная форма записи уравнения (1).
Формально, можно вывести за скобки в правой части – х(t), в левой – y(t):
(b2p2+b1p+b0)y(t) = (aip+a0)x(t)
оператор, который действует на y(t) оператор, который действует на х(t)
B(p)y(t)=A(p)x(t)
B(p) – собственный оператор;
A(p) – оператор внешнего воздействия;
Условно разделим обе части равенства на B(p):
y(t)= 
x(t)=W(p)x(t)
W(p) – передаточная функция.
Передаточная функция в операторной форме – это сложный дифференциальный оператор, который будучи приложенным ко входному сигналу позволяет определить выходной сигнал.
Передаточная функция полностью описывает динамическую характеристику объекта, но не учитывает его внутреннее устройство.
Определение передаточной функции на основе преобразования Лапласа.
Преобразуем уравнение (1) по Лапласу при нулевых начальных условиях.
Получаем уравнение в изображениях, связывающее изображение входа X(S) и выхода Y(S):
(b2S2+b1S+b0)*Y(S) = (a1S+a0)*X(S)
Y(S)= 
W(S) – передаточная функция объекта, записанная в виде функции от комплексной переменной S, а не от оперетора дифференцирования р.
W(S)= 
– отношение изображений выхода и входа при нулевых начальных условиях по Лапласу.
Лекция 6.
Передаточная функция.
Передаточная функция (ПФ) – это отношение изображений по Лапласу выхода и входа при нулевых начальных условиях.
W(p)= 
– передаточная функция в операторной форме в общем виде.
aI и bj – вещественные числа и функции конструктивных параметров.
Свойства передаточной функции:
1. Передаточная функция является полной динамической характеристикой системы.
2. Передаточная функция является правильной рациональной дробью, при этом порядок числителя «m» не превышает порядок знаменателя «n».
(m≤ n) – это свойство физической реализуемости.
3. Нулями передаточной функции называются корни её числителя.
4. Полюсами передаточной функции называются корни её знаменателя
Переходная функция.
Один из методов построения математической модели в переменных «вход-выход» - это определение реакции объекта управления на некоторый стандартный сигнал. Одним из простейших сигналов является так называемый «единичный скачок» (единичный ступенчатый сигнал), то есть мгновенное изменение входного сигнала с нуля до единицы в момент времени t=0. Формально этот сигнал определяется так:
1(t)= 
Если применить преобразование Лапласа, получим:
L{1(t)}= 
Реакция объекта управления на единичный скачок называется переходной функцией h(t).
При этом предполагается, что объект в начальный момент находится в состоянии покоя, т.е. имеет нулевые начальные условия. Это значит, что все его переменные состояния равны нулю и внутренняя энергия также нулевая. Пусть модель стстемы задана ДУ 1-го порядка, вида:
T = const, [c];
K – безразмерный коэффициент;
Найдём переходную характеристику этой системы, решая уравнение (1) при x(t)=1 (t> 0), получаем:
y(t)=k+c1exp(- 
)
Т.к. начальные условия нулевые, т.е. y(0)=0, c1=-k, тогда:
h(t)=y(t)=k(1-exp(- )
Из графика видно, что при увеличении Т, функция h(t) медленнее достигает установленного режима, значение которого равно k, то есть постоянная времени характеризует инерционность системы. Чем больше T, тем медленнее объект реагирует на управление и тем больше усилий необходимо, чтобы перевести его в новое состояние. Ступенчатый сигнал можно получить на практике, потому переходную характеристику можно снять экспериментально.
Импульсная характеристика (весовая функция).
В качестве постоянного сигнала можно использовать любой сигнал, например можно изучать реакцию системы на прямоугольный импульс:
Δ (t) – единичный импульс (дельта-функция Дирака)
Это идеальный (невозможный в реальной жизни) сигнал, который равен нулю во всех точках, кроме t=0, где он уходит в бесконечность, при чём его площадь (интеграл по всей оси времени) равна 1.
Иногда определяют дельта-функцию как производную от единичного ступенчатого сигнала 1(t):
L{ 
}=1
Реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию) называется импульсной характеристикой и обозначается ω (t).
Импульсная характеристика ω (t) так же как и переходная характеристика определяется при нулевых начальных условиях, т.е. объект должен находиться в состоянии покоя.
Найдём связь между импульсной характеристикой и переходной функцией:
Пусть ширина импульса – 
, высота 
, площадь – 1, тогда:
x(t)= 
, где 1(t- ) – единичный одноступенчатый сигнал, который приходит в момент времени t= .
Используя принцип суперпозиции и учитывая, что рекация на сигал 1(t) это h(t) – переходная функция, получим выходной сигнал
y(t)= 
Переходя к прелеоу при 
получаем
(2) ω (t)= 
= 
То есть импульсная характеристика равна производной от переходной функции. Наоборот, переходная функция – это интеграл от импульсной характеристики на [0; t]:
(3) h(t)= 
Уравнения (2) и (3) выражают связь между переходной и импульсной характеристикой.
Другое название импульсной характеристики – весовая функция.
В отличии от ступенчатого сигнала, мгновенный импульс бесконечной величины нельзя получить на практике, поэтому импульсную характеристику и нельзя снять экспериментально.
Лекция 9.
|
|