Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Односторонние пределы






В определении предела функции считается, что х стремится к x0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x0 (слева от х0), большим, чем хо (справа от хо), или колеблясь около точки x0.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к хо существенно влияет на значение придела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А1 называется пределом функции у=ƒ (х) слева в точке хо, если для любого число ε > 0 существует число δ =δ (ε)> 0 такое, что при х є (х0-δ; xo), выполняется неравенство |ƒ (х)-А|< ε. Предел слева записывают так: limƒ (х)=А при х–> х0-0 или коротко: ƒ (хо-0)=А1 (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают ƒ (хо+0)=А.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А12.

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ (х0-0) и ƒ (х0+0) и они равны, то существует предел и А=ƒ (х0-0).

Если же А1¹ А2, то етот придел не существует.

Предел функции при х ® ∞

Пусть функция у=ƒ (х) определена в промежутке (-∞; ∞). Число А называется пределом функции ƒ (х) при х→ , если для любого положительного числа ε существует такое число М=М()> 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|> М выполняется неравенство |ƒ (х)-А|< ε. Коротко это определение можно записать так:

Геометрический смысл этого определения таков: для " ε > 0 $ М> 0, что при х є(-∞; -М) или х є(М; +∞) соответствующие значения функции ƒ (х) попадают в ε -окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε (см. рис. 112).







© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.