Условие перпендикулярности.

Две плоскости перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда их нормальные векторы взаимно перпендикулярны. Поэтому, воспользовавшись условием перпендикулярности двух векторов (см. гл. III, формула (69)), получим

Равенство (9) дает условие перпендикулярности двух плоскостей. Итак, две плоскости перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда сумма парных произведений одноименных коэффициентов при текущих координатах равна нулю.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости

Решение. Напишем уравнение связки плоскостей, проходящих через точку (см. формулу ):

Из плоскостей связки нам нужно выделить ту, которая параллельна на плоскости Для этого воспользуемся условием (8) параллельности плоскостей: Итак, искомые коэффициенты А, В и С должны быть пропорциональны числам Поэтому можно положить . Подставляя найденные значения коэффициентов А, В и С в уравнение

получим

или, после упрощений,

Это и есть уравнение искомой плоскости.

40.Множества. Действительные числа (основные понятия, числовые множества, промежутки, окрестность точки).

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х²+2х+2=0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,..., X, Y,..., а их элементы — малыми буквами a, b,......, х, у,...

Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х Î X; запись хÏ Х или х Î X означает, что элемент х не принадлежит множеству X.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Ø.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись А={1, 3, 15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись А={х: 0≤ х≤ 2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ х ≤ 2.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так АÌ В («А включено в В») или ВÉ А («множество В включает в себя множество А»).

Говорят, что множества A и В равны или совпадают, и пишут А=В, если АÌ В и ВÌ А. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Объединением (или суммой) множеств A и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают AUВ (или А+В). Кратко можно записать АUВ={х: хєА или хєВ}.

Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают А∩ В (или А*В). Кратко можно записать А∩ В={х: хєА и хєВ}

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

Α Þ ß — означает «из предложения α следует предложение ß»;

Α Û ß — «предложения α и ß равносильны», т. е. из α следует ß и из ß следует α;

" — означает «для любого», «для всякого»;

$ — «существует», «найдется»;

: — «имеет место», «такое что»;

® — «соответствие».

Например:
1) запись " xÎ А: α означает: «для всякого элемента хÎ А имеет место предложение α»;
2) (х єA U В) < ==> (х є А или х є В); эта запись определяет объединение множеств А и В.