Системы линейных уравнений. Формулы Крамера решения систем линейных уравнений. Пример.

Еще одним популярным методом решения системы линейных алгебраических уравнений является метод Крамера. Крамера, используя следующие формулы: для вычисления корней уравнений x_i (i=1, n)

x_i=Δ ⁱ_n/Δ _n (i=1, n),

где Δ _n=det A, а Δ ⁱ_n являются определителями n-го порядка, которые получаются из Δ _n путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов исходной системы.

Что бы закрепить теоретический материал, обратимся к практике, решим систему из трех уравнений методом Крамера.

76x₁-7x₂-6x₃=-5

10x₁+12x₂-7x₃=11

-16x₁+10.5x₂-13x₃=-10

Определим совместность системы линейных уравнений. По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, что бы ранг основной матрицы

и ранг расширенной матрицы

были равны.
Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3 и равен количеству неизвестных n=3, то система имеет единственное решение.

Согласно вышеприведенной формуле для метода Крамера, необходимо найти главный определитель и он будет равен

Для вычисления X₁ найдем первый определитель, для чего заменим первый столбец столбцом свободных членов.

Точно как же как и для X₁ найдем определитель, для вычисления X₂

Проделаем аналогичную операцию для вычисления следующего определителя для X₃

В результате осталось разделить нужные определители на главный, в итоге получим:
X₁=Δ ₁/Δ? 0.256
X₂=Δ ₂/Δ? 1.832
X₃=Δ ₃/Δ? 1.934

Векторы. Основные понятия.

Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑ ↑ b. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑ ↓ b Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны.Единичным вектором или ортом - называется вектор, длина которого равна единице.