Теоретическое введение. Математическая модель работы любой электротехнической системы описывается системой дифференциальных уравнений

Математическая модель работы любой электротехнической системы описывается системой дифференциальных уравнений. Для решения систем таких уравнений существуют следующие методы:

1. Метод Эйлера

2. Метод Рунге-Куты

3. Метод обобщенной электрической машины

В данной лабораторной работе мы построим и изучим математическую модель обобщенной электрической машины.

Обобщенная электрическая машина (ОЭМ) представляет собой идеализированную электрическую машину, имеющую две обмотки на статоре и две обмотки на роторе, сдвинутые друг относительно друга на 90 электрических градусов. При таком расположении обмоток количество переменных и уравнений, описывающих электродвигатель, уменьшается, но сохраняется основа электромеханического преобразования энергии - вращающееся магнитное поле. Решение системы уравнений ОЭМ возможно только численными методами.

Электродвигатель может быть представлен в виде электромеханического многополюсника (рис. 7.1):

Рис. 7.1. Электромеханический многополюсник.

Электромеханический преобразователь имеет n- пар электрических выводов, соответствующих n- обмоткам двигателя, и одну пару механических выводов, на которых в результате электромеханического преобразования энергии при скорости ω развивается электромагнитный момент двигателя М.

Как правило, двигатели являются многофазными электрическими машинами. С увеличением числа фаз возрастает число уравнений, описывающих электромагнитные и электромеханические процессы.

В теории электрических машин доказано, что любая многофазная машина с n -фазной обмоткой статора и m -фазной обмоткой ротора может быть представлена двухфазной моделью. Поэтому математическое описание процессов во вращающейся электрической машине получают на основе рассмотрения её двухфазной модели, которая получила название обобщенной электрической машины (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Схема обобщенной электрической машины.

Уравнения Кирхгофа, выраженные через потокосцепление Ψ, имеют вид:

Где R ₁ и R ₂ – активное сопротивление фазы статора и приведённое сопротивление фазы ротора.

В общем виде система дифференциальных уравнений обобщенной электрической машины записывается следующим образом:

где U_su, U_sv, U_ru, U_rv - составляющие векторов напряжений, подводимых к статору и ротору, в осях системы координат u-v, вращающейся с произвольной частотой ω ₀; Ψ _su, Ψ _sv, Ψ _ru, Ψ _rv - составляющие векторов потокосцеплений статора и ротора в осях системы координат u-v; ω - круговая частота вращения ротора двигателя; p - число пар полюсов статора; R_s, R_r, L_s’, L_r’, k_s, k_r - активные сопротивления статора, ротора, переходные индуктивности статора и ротора, коэффициенты электромагнитной связи статора и ротора, соответственно; М – электромагнитный момент; J – момент инерции ротора двигателя.

Для вычисления параметров модели обобщенной электрической машины можно воспользоваться формулами:

Для численного решения одиночного дифференциального уравнения в MathCAD имеются функции:

1. Odesolve, с помощью которой может быть решена как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, так и граничная задача. Эта функция входит в состав блока решения и сявляется его заключительным ключевым словом. Она решает уравнение методом Рунге-Куты.

Odesolve(x, b, [step]) - Возвращает функцию, которая является решением дифференциального уравнения. Используется в блоке с оператором Given. x - переменная интегрирования, действительное число b - конечная точка отрезка интегрирования step - величина шага по переменной интегрирования (необязательный аргумент)

Замечания:

1. Уравнение должно быть линейным относительно старшей производной.

2. Число заданных начальных или граничных условий внутри блока должно быть равно порядку уравнения.

3. При записи уравнения для обозначения производных функции используйте специальные кнопки с панели Math или ' (штрих) - [Ctrl+F7], для знака равенства = [Ctrl+=] (в том числе и для дополнительных условий).

4. Конечная точка должна быть больше начальной.

5. Не допускаются начальные и граничные условия смешанного типа (f '(a)+f(a)=5).

6. Искомая функция в блоке дложна быть обязательно с аргументом (f(x))

7. Знак производной ставится одновременным нажатием CTRL и F

2. rkfixed(y, x1, x2, n, F) - возвращает матрицу решений системы уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка при фиксированном шаге по x

решаем систему уравнений сделаем замену х на y0 y на y1

rkadapt(y, x1, x2, n, F) - ищет решение с переменным шагом (там, где решение меняется медленнее, шаг увеличивается, а в области быстрого изменения решения шаг функции уменьшается). Возвращается решение с равным шагом. Функция работает быстрее, чем rkfixed

Bulstoer(y, x1, x2, n, F) - дает более точное решение (методом Bulirsch-Stoer)

Агрументы вышеуказанных функций:

y - вектор начальных условий

x1, x2 - границы интервала для поиска решения

n - количество точек на интервале

F(x, y) - вектор-функция первых производных

При решении дифференциальных уравнений порядка выше первого (или систем уравнений, выше первого порядка) исходное уравнение (систему) необходимо преобразовать к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

В результате работы укзанных функций рассчитывается матрица, количество стобцов которой равно порядку уравнения +1(или сумме порядков уравнений в системе +1), а количество строк равно параметру n. Первый столбец содержит значения независимой переменной, второй - значение функции, третий - для диф. уравнений 2-го порядка - значение производной искомой функции (если решается система двух уравнений 1-го порядка, то третий столбец будет содержать значения второй функции). Для выделения решений (функций или их производных) можно воспользоваться стандартным оператором вывода столбцов матрицы M^{< >}

В следующем примере решаем систему диф. уравнений второго порядка:

Если матрица правых частей дифференциальных уравнений почти вырождена, то такие системы называются жесткими. В этом случае решения, возвращаемые функцией rkfixed будет неустойчивым и для решения таких систем необходимо применять функции Stiffb, Stiffr

3. Stiffb(y, x1, x2, n, F, J) - ищет решение диф. уравнения или системы дифференциальных уравнений методом Bulirsch-Stoer

Stiffr(y, x1, x2, n, F, J) - ищет решение диф. уравнения или системы дифференциальных уравнений методом Rosenbrock

Первые пять аргументов такие же, как и при решении хорошо обусловленных систем дифференциальных уравнений. Дополнительный аргумент - матрица J размером nx(n+1), первый столбец которой содержит частные производные dF/dx, остальные столбцы и строки представляют собой матрицу Якоби dF/dy

4. Для отыскания решения системы диф. уравнений только в конечной точке используются функции bulstoer, rkadapt, stiffb, stiffr (начинаются с прописной буквы).

Набор парамеров для этих функций: bulstoer(y, x1, x2, acc, F, kmax, save)
rkadapt(y, x1, x2, acc, F, kmax, save)
stiffb(y, x1, x2, acc, F, J, kmax, save)
stiffr(y, x1, x2, acc, F, J, kmax, save)

Первые три параметра и пятый (F) этих функций те же, что и для функции Rkadapt.

Дополнительные параметры:

acc - параметр, контролирующий точность решения (реком. асс=0.001)

kmax - максимальное число промежуточных точек в которых ищется решение

save - минимально допустимый интервал между точками, в которых ищется решение

Задание на лабораторную работу:

Согласно варианту записать систему дифференциальных уравнений и решить её ВСЕМИ способами в mathcad. Параметры двигателей приведены в таблице 7.1 Двигатели асинхронные с короткозамкнутым ротором, поэтому U_ru = U_rv = U_sv = 0, U_su = U_ном, ω _k = 314 (рад/с).

Параметры двигателей

Табл. 7.1

Контрольные вопросы

1. Методы численного решения дифференциальных уравнений.

2. Расскажите о методах Рунге-Кутты.

3. Применение метода Эйлера к решению дифференциальных уравнений.

4. Применение конечно-разностных методов к решению систем дифференциальных уравнений.

5. Какие формы записи систем дифференциальных уравнений вы знаете?

6. Применение метода Рунге-Кутты четвертого порядка к решению систем дифференциальных уравнений в форме Коши.

7. Что вы знаете об обобщенной электрической машине?

8. Допущения, принимаемые в теории обобщенной электрической машины.

9. Система уравнений обобщенной электрической машины.

10. Какие методы повышения точности интегрирования вы знаете?

11. Расскажите о применении метода Рунге-Кутты четвертого порядка с адаптивным шагом к численному решению системы дифференциальных уравнений обобщенной электрической машины.