Теоретическое введение. В рассмотренных выше транспортных задачах передача мощностей осуществлялась непосредственно от источников к потребителям

В рассмотренных выше транспортных задачах передача мощностей осуществлялась непосредственно от источников к потребителям. Это транспортные задачи в так называемой классической постановке.

В реальных схемах электрических сетей часто оказывается целесообразной передача мощности через промежуточные (транзитные) узлы. Такими транзитными узлами могут быть как узлы источников питания, так и узлы потребителей. На рис. 2.1 в качестве примера приведены простейшие схемы электрических сетей, поясняющие понятие " транзит мощности".

Рис. 2.1. Поясняющие схемы к понятию " транзит мощности"

На рис.2.1, а показано взаимное расположение узлов источника А1 и потребителей В2 и В3. При классической постановке транспортной задачи оптимальная схема электрической сети будет иметь вид, показанный на рис. 2.1, б. Очень возможно, что эта схема будет дороже, чем схема, приведенная на рис. 2.1, в, в которой мощность к потребителю В3 передается через промежуточный (транзитный) узел потребителя В2. Величина транзитной мощности, передаваемой через узел В2, равна мощности потребителя В3, т.е. х22=В3.

Транзитная мощность обозначена переменной с двумя одинаковыми индексами, соответствующими номеру узла, через который она протекает. Можно показать, что транзитным узлом может быть и узел источника питания.

Таким образом, транспортная задача с транзитом мощности является более общей задачей и имеет более широкие возможности по оптимизации схемы электрической сети, чем транспортная задача в классической постановке.

При решении транспортных задач с транзитом мощности с количеством источников n и количеством потребителей m всем узлам схемы присваивается единая нумерация 1, 2,... (n+m).

Целевая функция представляет собой сумму произведений удельных стоимостей на величины передаваемых мощностей от узла i к узлу j

Стоимость передачи мощности между узлами i и j не зависит от направления этой мощности, поэтому в рассматриваемой задаче принимается zij=zji.

Для оценки удельных затрат zii на передачу через i-й узел транзитной мощности xii обратимся к рис. 2.1, в. Затраты на электрическую сеть, показанную на этом рисунке, составляют Z= z12x12+z23x23. Транзитная мощность х22 и удельные затраты z22 на ее передачу через узел 2 не входят в выражение целевой функции Z. Следовательно, удельные затраты на передачу транзитной мощности через любой i-й узел zii=0.

Как и в классической транспортной задаче, ограничениями в транспортной задаче с транзитом будут балансы мощности во всех узлах. В частности, для узла В2 схемы рис. 2.3, в баланс мощности запишется в виде х12 = В2 + х22 или х12 - х22 = В2.

В общем случае для любого j-го потребителя сумма мощностей, притекающих от всех других узлов, за вычетом транзитной мощности xjj равна мощности этого потребителя

Аналогично можно записать уравнение баланса мощности для любого i-го источника. Сумма мощностей, оттекающих от i-го источника ко всем другим узлам, за вычетом транзитной мощности xii равна мощности этого источника

Из двух последних выражений видно, что транзитная мощность входит в математическую модель транспортной задачи со знаком минус.

Пример. В проектируемой системе электроснабжения имеется 2 узла источников питания и 2 узла потребителей. Мощности источников составляют A1=50 и A2=30, а мощности потребителей – B1=20, B1=25, В3=35 е.м. Удельные затраты на передачу мощностей по линиям между узлами составляют z11=1, 2, z12=1, 9, z13=1, 7, z21=1, 6, z22=2, 3, z23=2, 1 у.е./е.м.

Требуется найти оптимальную схему электрической сети.

Решение:

Построим схему соединения в соответствии с графиком удельных затрат на передачу мощностей по линиям между узлами рис. 2.1.

рис. 2.1

Решение задачи в приложении Excel на рис. 2.2, значения U и V подбираются методом «подбор параметра».

Целевая функция: =F12*C25+F13*C26+F14*C27+F15*C28+F16*C29+F17*C30

Рис. 2.2

Исходя из этого решения получаем схему оптимального соединения:

Задание на лабораторную работу:

В соответствии с вариантом (табл 2.1) решить приведенным способом транспортную задачу:

В проектируемой системе электроснабжения имеется два узла с источниками питания и три узла потребителей. Мощности источников составляют A1 и А2, а мощности потребителей - B1, В2 и В3 е.м. Взаимное расположение узлов и возможные к сооружению линии электрической сети показаны на рис. 2.1. Удельные затраты на передачу мощностей по линиям между узлами источников и потребителей составляют z11, z12, z13, z21, z22, z23 у.е./е.м.

Найти оптимальную схему электрической сети.

Таблица 2.1

Контрольные вопросы

1. Почему решенная в этой лабораторной работе задача называется транспортной

2. Нарисуйте разветвленную цепь транспортировки энергии

3. Запишите целевую функцию для задачи из предыдущего пункта

4. Какие обязательные ограничения должны быть при чмсленном решении задачи распределения энергии через трансформаторы

5. Необходимость ограничений в транспортных задачах

6. В каких случаях необходимо минимизировать целевую функцию, а в каких максимизировать.